Za razliko od geometrijskih figur, ki jih je oblikoval, je Rezultat nima definicije. To pomeni, da je točka v geometriji nedefiniran objekt, ki se uporablja pri določanju drugih predmetov. Na primer, vrstice so nizi točk. Čeprav so videti dobro definirane, vrstice tudi nimajo definicije, saj se šteje, da je vsak niz, ki vsebuje dve ali več točk, raven.
Po drugi strani pa je v analitični geometriji točka vzeta kot lokacija. Vsako lokacijo je mogoče predstaviti s točko, poleg tega pa je s pomočjo koordinat naveden tudi "naslov" te točke.
Vendar pa v analitični geometriji točke lahko označujejo le lokacije. Za prikaz poti, smeri, smeri in intenzivnosti so potrebni drugi predmeti. V primeru zadnjih treh je predmet, izbran za njihovo predstavitev v kartezični ravnini, vektor.
→ Kaj je vektor?
Vektorjiso torej predmeti, ki kažejo smer, občutek in intenzivnost. Običajno so predstavljeni s puščicami, ki se začnejo od začetka, uporabljajo pa se koordinate njihove zadnje točke.
Na zgornji sliki so vektorji predstavljeni na ta način, torej puščice, katerih koordinate ustrezajo njihovi končni točki. Vektor u ima koordinate (2,2), vektor v pa koordinate (4,2). Puščica se uporablja tudi za označevanje smeri in smeri, njena velikost pa označuje intenzivnost.
→ Množenje vektorjev s številom
Glede na vektor v = (a, b) je zmnožek realnega števila k z v izraz:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Z drugimi besedami, če želite množiti realno število z vektorjem, morate realno število pomnožiti z vsako od njegovih koordinat.
Geometrično množenje vektorja z realnim številom linearno poveča njegovo vektor:
Upoštevajte, da ima v zgornjem primeru vektor u koordinate (2.2), vektor u · k pa koordinate (4.4). Pri reševanju enačbe (4.4) = k (2.2) lahko ugotovimo, da je k = 2.
→ Dodajanje vektorjev
Glede na dva vektorja u = (a, b) in v = (c, d) bomo vsoto med njimi dobili z izrazom:
u + v = (a + c, b + d)
Z drugimi besedami, samo seštejte ustrezne koordinate vsakega vektorja. To operacijo lahko razširimo na vsoto 3 ali več vektorjev s 3 ali več dimenzijami.
Geometrično se od končne točke vektorja u potegne vektor v 'vzporedno z vektorjem v. Začenši z vektorjem v, se vzporedno z vektorjem u nariše vektor u '. Ti štirje vektorji tvorijo paralelogram. Vektor u + v je naslednja diagonala tega paralelograma:
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Če želite odšteti vektorje, upoštevajte odštevanje kot vsoto enega vektorja in nasprotja drugega. Na primer, če želite od vektorja u odšteti vektor v, zapišite: u - v = u + (-v). Vektor -v je vektor v, vendar z obrnjenimi koordinatnimi znaki.
Če pogledamo natančno, operacije "množenje vektorja s številom" in "dodajanje vektorjev" uporabite operacije množenja in seštevanja na realnih številih, vendar na vsaki komponenti vektor. Zato za vektorje veljajo vse lastnosti seštevanja in množenja realnih števil, in sicer:
Glede na vektorje u, v in w ter realna števila k in l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) obstaja vektor 0 = (0,0), tak da je v + 0 = v
iv) Obstaja vektor -v tak, da je v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Standard vektorja
Norma vektorja je enakovredna velikosti realnega števila, to je razdalja med vektorjem in točko (0,0) ali, odvisno od referenčnega okvira, dolžina vektorja.
Norma vektorja v = (a, b) je označena z || v || in se lahko izračuna z uporabo izraza:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Notranji izdelek
Notranji izdelek je primerljiv z izdelkom med vektorji. Upoštevajte, da je zgoraj omenjeni izdelek produkt med vektorjem in realnim številom. Zdaj je zadevni "izdelek" med dvema vektorjema. Vendar ne smemo reči "izdelek med dvema vektorjema", temveč "notranji izdelek med dvema vektorjema". Notranji zmnožek med vektorjema v = (a, b) in u = (c, d) je označen z
V navadi je tudi uporaba naslednjega zapisa:
Upoštevajte, da lahko z uporabo norme vektorja v = (a, b) povežemo normo in pikčasti zmnožek.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike
