Inverzna funkcija: kaj je to, graf, vaje

THE inverzna funkcija, kot že ime pove, je funkcija f (x)^-1, ki naredi ravno obratno od funkcije f (x). Da funkcija podpira inverzno, mora biti bijector, to je injektor in surjektor hkrati. Zakon tvorbe inverzne funkcije deluje nasprotno od funkcije f (x).

Na primer, če funkcija vzame vrednost iz domena in sešteje 2, inverzna funkcija namesto seštevanja odšteje 2. Poišči zakon inverzne funkcije ni vedno lahka naloga, saj je treba neznanki x in y obrniti, kot tudi izolirati y v novi enačbi.

Preberite tudi:Funkcija - vse, kar morate vedeti za obvladovanje predmeta

Kdaj funkcija podpira inverzno?

Grafični prikaz funkcije in njene inverzne funkcije.

Vloga je nepovratno, to pomeni, da ima obratno funkcijo, če in samo, če je bijector. Pomembno je, da si zapomnite, kaj a funkcija biktorja, kar je funkcija injektor, to pomeni, da ima vsak element slike en dopisnik domene. To pomeni, da je treba različne elemente v nizu A povezati z različnimi elementi v množice B, to pomeni, da ne more biti dveh ali več elementov množice A, ki imata enake vrednosti v sklop B.

Vloga je surjektivno če je slika enaka nasprotni domeni, to pomeni, da v nizu B ni elementa, ki nima elementa v nizu A, povezanega z njim.

Naj bo funkcija f: A → B, kjer je A domena, B pa protidomena, inverzna funkcija f bo funkcija, ki jo opisuje f^-1 : B → A, to pomeni, da sta domena in nasprotna domena obrnjeni.

Primer:

Funkcija f: A → B je bijektivna, saj je injektivna (navsezadnje so ločeni elementi v A povezani z različnih elementov v B) in je tudi surjektivna, saj v množici B ne ostane noben element, to je nasprotna domena je enaka kot nastavite Slika.

Zato je ta funkcija obratna in njena inverzna je:

Kako se določi zakon o obratni funkciji?

Za iskanje zakona inverzne tvorbe funkcij potrebujemo obrniti neznanke, to je zamenjava x z y in y z x, nato pa izolacija neznanega y. Za to je pomembno, da je funkcija obrnljiva, to je bijektor.

→ Primer 1

Poiščite zakon tvorbe inverzne funkcije f (x) = x + 5.

Resolucija:

Vemo, da je f (x) = y, torej y = x + 5. Z inverzijo x in y bomo ugotovili naslednje enačba:

x = y + 5

Zdaj pa izolirajmo y:

- 5 + x = y
y = x - 5

Jasno je, da če f (x) vrednosti 5 doda vrednost x, potem je njegova inverzna vrednost f (x) ^{- 1} bo naredil obratno, to je x minus 5.

→ 2. primer

Glede na funkcijo, katere zakon tvorbe je f (x) = 2x - 3, kakšen bo zakon tvorbe njene inverzne?

→ 3. primer

Izračunaj zakon tvorbe inverzne funkcije y = 2^x.

Resolucija:

y = 2^x
Spreminjanje x za y:
x = 2^y

prijava logaritem na obeh straneh:

log₂x = dnevnik₂2^y
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = dnevnik₂x

Preberite tudi: Razlike med funkcijo in enačbo

Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)

Graf inverzne funkcije

Graf inverzne funkcije f ^-1 vedno bo simetričen grafu funkcije f glede na premico y = x, kar omogoča analizo vedenja teh funkcije, čeprav v nasprotnem primeru zakona inverzne tvorbe funkcij ne moremo opisati zaradi zapletenost.

Preberite tudi: Kako grafično prikazati funkcijo?

rešene vaje

1) Če f^-1 je inverzna funkcija f, ki gre od R do R, katere zakon tvorbe f (x) = 2x - 10, je številčna vrednost f ^-1(2) é:

do 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Resolucija:

→ 1. korak: poiščite inverzno vrednost f.

→ 2. korak: namesto x v f zamenjajte 2 ^-1(x).

Alternativa C.

2) Naj bo f: A → B funkcija, katere zakon tvorbe je f (x) = x² + 1, kjer sta A {-2, -1, 0, 1, 2} in B = {1,2,5}, pravilno je reči, da:

a) funkcija je obrnljiva, saj je bijektor.

b) funkcija ni obrnljiva, saj ne vbrizgava.

c) funkcija ni obračljiva, saj ni surjektivna

d) funkcija ni obračljiva, saj ni niti surjektivna niti injekcijska.

e) funkcija ni obrnljiva, saj je bijektor.

Resolucija:

Da je funkcija obratna, mora biti biektivna, torej surjektivna in injekcijska. Najprej analizirajmo, ali je surjektivno.

Da je funkcija surjektivna, morajo imeti vsi elementi B protipostavko v A. Da bi to vedeli, izračunajmo vsako njegovo številčno vrednost.

f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5

f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2

f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1

f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2

f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5

Upoštevajte, da imajo vsi elementi B {1,2,5} ustrezne vrednosti v A, kar naredi funkcijo surjektivno.

Da je ta funkcija injektivna, morajo imeti elementi, ki se razlikujejo od A, ločene slike v B, kar pa se ne zgodi. Upoštevajte, da je f (-2) = f (2) in tudi f (-1) = f (1), zaradi česar je funkcija ne injicirajte. Ker ni injektor, tudi ni obrnljiv; torej, alternativa b.

Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike