Eksponentna enačba: kaj so in kako jih rešiti (s primeri)

Enačba je eksponentna, če je neznanka (neznana vrednost) v eksponentu potence. Tako se matematični stavek, ki vključuje enakost med dvema členoma, kjer se neznanka pojavlja v vsaj enem eksponentu, imenuje eksponentna enačba.

Potencija je rezultat zmnožka njene osnove s samim seboj, tolikokrat, kot ga določa eksponent.

V eksponentni enačbi določimo, koliko faktorjev pomnožimo, torej kolikokrat pomnožimo osnovo, da dobimo določen rezultat.

Opredelitev eksponentne enačbe:

začetna matematična velikost sloga 18 slikovnih pik ravni b na potenco ravni x je enako ravno do končnega sloga

Kje:

b je osnova;
x je eksponent (neznano);
a je moč.

Na čem ravni b ni enak 1 ravni presledek in ravni b večji od 0 je ravno a ni enako 0 .

Primer eksponentne enačbe:

Neznana spremenljivka je v eksponentu. Določiti moramo, kolikokrat bo 2 pomnoženo, da bo rezultat 8. kot 2. 2. 2 = 8, x = 3, saj je treba 2 pomnožiti trikrat, da dobimo 8 kot rezultat.

Kako rešiti eksponentne enačbe

Eksponentne enačbe lahko zapišemo na različne načine in za njihovo reševanje bomo uporabili enake potence z enakimi bazami, ki morajo imeti tudi enake eksponente.

Ker je eksponentna funkcija injektivna, imamo:

ravni b na potenco ravni x z 1 indeksom na koncu eksponenta, ki je enak ravnini b na potenci x z 2 indeksom na koncu eksponentni presledek dvojna puščica levo in desno presledek ravni x z 1 indeksom je enak ravnim x z 2 naročen

To pomeni, da bosta dve potenci z isto osnovo enaki, če in samo če sta enaka tudi njuna eksponenta.

instagram story viewer

Tako je ena od strategij za reševanje eksponentnih enačb izenačiti osnove pooblastil. Ko sta osnovi enaki, ju lahko izločimo in primerjamo eksponente.

Za izenačitev osnov potenc v eksponentni enačbi uporabljamo matematična orodja, kot sta faktorizacija in Potenciacijske lastnosti.

Primeri reševanja eksponentnih enačb

Primer 1
2 na potenco ravni x, ki je enaka 64

Je eksponentna enačba, saj stavek vključuje enakost (enačba) in neznana spremenljivka x je v eksponentu (eksponenta).

Za določitev vrednosti neznanke x izenačimo baze potenc z uporabo faktorizacije 64.

64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 oz 2 na potenco števila 6

Zamenjava v enačbo:

Zanemarjamo baze in pustimo samo enakost med eksponenti.

x = 6

Tako je x = 6 rezultat enačbe.

Primer 2
9 na potenco ravnine x plus 1 konec eksponenta, ki je enak 81

Osnove enačimo s faktorizacijo.

9 = 3. 3 =
81 = 3. 3. 3. 3 =

Zamenjava v enačbo:

odprti oklepaji 3 na kvadrat zaprti oklepaji na potenco x plus 1 konec eksponenta, ki je enak 3 na potenco 4

Z uporabo potenčne lastnosti potence pomnožimo eksponente na levi strani.

3 na potenco 2 x plus 2 konec eksponenta, ki je enak 3 na potenco 4

Če sta osnovi enaki, ju lahko zavržemo in izenačimo eksponente.

2 ravna x plus 2 je enako 4 2 ravna x je enako 4 minus 2 2 ravna x je enako 2 ravna x je enako 2 čez 2 je enako 1

Tako je x = 1 rezultat enačbe.

Primer 3

0 vejica 75 na potenco ravni x, ki je enaka 9 na 16 presledek

Osnovo 0,75 pretvorimo v centezimalni ulomek.

odprti oklepaji 75 na 100 zaprti oklepaji na potenco x enako 9 na 16 presledek

Poenostavimo centezimalni ulomek.

odprti oklepaji 3 na 4 zaprti oklepaji na potenco x enako 9 na 16 presledek

Razmnožimo 9 in 16.

odprti oklepaji 3 na 4 zaprti oklepaji na potenco ravni x, ki je enaka 3 na kvadrat na 4 na kvadrat

Če izenačimo osnove, dobimo x = 2.

odprti oklepaji 3 na 4 zaprti oklepaji na kvadratno potenco x enako odprtim oklepajem 3 na 4 zaprti oklepaji na kvadrat

x = 2

Primer 4

Korenino spremenimo v moč.

4 na potenco x enako 32 na potenco 1 tretji konec eksponenta

Upoštevamo baze moči.

odprti oklepaji 2 na kvadrat zaprti oklepaji na potenco x enako odprti oklepaji 2 na potenco 5 zaprti oklepaji na potenco 1 tretji konec eksponenta

Z množenjem eksponentov izenačimo osnove.

2 na potenco 2 x konec eksponente, enako 2 na potenco 5 na 3 konec eksponenta

Zato moramo:

2 ravni x je enako 5 na 3 ravni x je enako števcu 5 na imenovalcu 2,3 konec ulomka je enako 5 na 6

Primer 5

Faktoring 25

odprti oklepaji 5 na kvadrat zaprti oklepaji na potenco x minus 6,5 na potenco x plus 5 je enako 0

Potenco 5² prepišemo na x. Spreminjanje vrstnega reda eksponentov.

odprti oklepaji 5 na potenco x zaprti oklepaji na kvadrat minus 6,5 na potenco x plus 5 je enako 0

Uporabimo pomožno spremenljivko, ki jo bomo imenovali y.

5 na potenco ravnine x je enako ravnini y (ohranite to enačbo, uporabili jo bomo kasneje).

Zamenjava v prejšnjo enačbo.

ravni y na kvadrat minus 6. ravni y plus 5 je enako 0 ravni y na kvadrat minus 6 ravni y plus 5 je enako 0

Pri reševanju kvadratne enačbe imamo:

prirastek je enak b na kvadrat minus 4. The. c prirastek je levi oklepaj minus 6 desni oklepaj na kvadrat minus 4.1.5 prirastek je 36 minus 20 prirastek je 16

ravni y z 1 indeksom je enak števec minus ravni b plus kvadratni koren prirastka nad imenovalcem 2. naravnost na konec ravnega ulomka y z 1 indeksom, ki je enak števcu minus levi oklepaj minus 6 desni oklepaj plus kvadratni koren iz 16 nad imenovalcem 2.1 konec ravnega ulomka y z 1 indeksom, ki je enak števcu 6 plus 4 nad imenovalcem 2 konec ulomka, ki je enak 10 nad 2 enako 5

ravni y z 2 indeksom je enak števec minus ravni b minus kvadratni koren prirastka nad imenovalcem 2. naravnost na konec ulomka ravni y z 2 indeksom, ki je enak števcu 6 minus 4 nad imenovalcem 2 konec ulomka, ki je enak 2 čez 2, enako 1

Nabor rešitev za kvadratno enačbo je {1, 5}, vendar to ni rešitev eksponentne enačbe. Vrniti se moramo k spremenljivki x z uporabo 5 na potenco ravnine x je enako ravnini y.