Vemo kako polinom izraz, ki označuje algebraično vsoto monomov, ki si niso podobni, torej polinom je eno algebrski izraz med monomi. Monomium je algebrski izraz, ki ima koeficient in dobesedni del.
Ko obstajajo podobni izrazi med polinoma, je mogoče izvesti zmanjšanje pogojev seštevanje in / ali odštevanje dveh polinoma. Prav tako je mogoče preko distribucijske lastnosti pomnožiti dva polinoma. Delitev se izvede po metodi ključev.
Preberite tudi: Polinomska enačba - enačba, za katero je značilno, da ima polinom enak 0
Kaj so monomi?
Da bi razumeli, kaj je polinom, je pomembno, da najprej razumemo pomen monoma. Algebrski izraz je znan kot monomij, kadar je številke in črke ter njihovi eksponenti ločeno le z množenjem. Število je znano kot koeficient, črke in njihovi eksponenti pa kot dobesedni del.
Primeri:
2x² → 2 je koeficient; x² je dobesedni del.
√5ax → √5 je koeficient; ax je dobesedni del.
b³yz² → 1 je koeficient; b³yz² je dobesedni del.
Kaj je polinom?
Polinom ni nič drugega kot algebraična vsota monomov, to pomeni, da so bolj monomi, ločeni med seštevanjem ali odštevanjem.
Primeri:
ax² + za + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Na splošno ima lahko polinom več izrazov, algebraično ga predstavlja:
Theštxšt +(n-1) x(n-1) +… +2x² + a1x + a
Glej tudi: Kateri so razredi polinoma?
stopnja polinoma
Če želimo najti stopnjo polinoma, ga ločimo na dva primera, ko ima eno spremenljivko in kadar ima več spremenljivk. Stopnja polinoma je podana z stopnja največjega svojega monoma v obeh primerih.
Precej pogosto je delo s polinomom, ki ima samo eno spremenljivko. Ko se to zgodi, O večji monomij stopnjo kar označuje stopnjo polinoma je enako največji eksponent spremenljivke:
Primeri:
Enojni spremenljivi polinomi
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → upoštevajte, da je spremenljivka x, in največji eksponent, ki ga ima, je 3, torej je to polinom stopnje 3.
b) 2 let5 + 4y² - 2y + 8 → spremenljivka je y, največji eksponent pa 5, torej je to polinom stopnje 5.
Če ima polinom več kot eno spremenljivko v monomu, je za iskanje stopnje tega izraza potrebno doda-če stopnja eksponentov vsake spremenljivke. Tako je stopnja polinoma v tem primeru še vedno enaka stopnji največjega monoma, vendar je treba paziti, da se dodajo eksponenti spremenljivk vsakega monoma.
Primeri:
a) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Pri analizi dobesednega dela vsakega izraza moramo:
xy → ocena 2 (1 + 1)
x²y³ → stopnja 5 (2 + 3)
y³ → razred 3
Upoštevajte, da ima največji izraz stopnjo 5, torej je to polinom stopnje 5.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analiza dobesednega dela vsakega monoma:
a²b → ocena 3 (2 + 1)
ab² → stopnja 2 (1 + 1)
a²b² → ocena 4 (2 + 2)
Tako ima polinom stopnjo 4.
Dodajanje polinoma
Za seštevanje med dvema polinoma, izvedimo zmanjšanje podobnih monomov. Dva monoma sta si podobna, če imata enaka dobesedna dela. Ko se to zgodi, je mogoče polinom poenostaviti.
Primer:
Naj bo P (x) = 2x² + 4x + 3 in Q (x) = 4x² - 2x + 4. Poiščite vrednost P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Iskanje podobnih izrazov (ki imajo enake dobesedne dele):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Zdaj pa dodajte podobne monome:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polinomsko odštevanje
Odštevanje se ne razlikuje veliko od seštevanja. Pomembna podrobnost je ta najprej moramo napisati nasprotni polinom preden izvedemo poenostavitev podobnih izrazov.
Primer:
Podatki: P (x) = 2x² + 4x + 3 in Q (x) = 4x² - 2x + 4. Izračunaj P (x) - Q (x).
Polinom -Q (x) je nasprotje Q (x), da bi našli nasprotje Q (x), samo obrnite predznak vsakega od njegovih členov, zato moramo:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Nato bomo izračunali:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Poenostavitev podobnih izrazov imamo:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Množenje polinoma
Za množenje dveh polinov uporabimo znano distribucijsko lastnino med obema polinomoma, pri čemer deluje množenje monomov prvega polinoma s tistimi drugega.
Primer:
Naj bo P (x) = 2a² + b in Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Izračunaj P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Z uporabo distribucijske lastnine bomo imeli:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2.5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Zdaj, če obstajajo, lahko poenostavimo podobne izraze:
2.5 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Upoštevajte, da so edini podobni monomi označeni z oranžno, pri čemer bomo poenostavljali, kot odgovor bomo imeli naslednji polinom:
2.5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2.5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Dostop tudi: Kako narediti množenje algebrskih ulomkov?
polinomska delitev
izvedite delitev polinoma je lahko zelo naporen, uporabljamo tako imenovano metoda tipk, vendar obstaja več metod za to. Delitev dveh polinomov možno je le, če je stopnja delitelja manjša. Z delitvijo polinoma P (x) s polinomom D (x) iščemo polinom Q (x), tako da:
Tako imamo z algoritmom delitve: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividenda
D (x) → delilnik
Q (x) → količnik
R (x) → ostanek
Med izvajanjem delitve je polinom P (x) deljiv s polinomom D (x), če je preostanek nič.
Primer:
Delujmo tako, da delimo polinom P (x) = 15x² + 11x + 2 s polinomom D (x) = 3x + 1.
Želimo deliti:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. korak: delimo prvi monomij dividende s prvim deliteljem:
15x²: 3x = 5x
2. korak: pomnožimo 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x in odštejemo rezultat P (x). Za izvedbo odštevanja je treba obrniti znake rezultata množenja in poiskati polinom:
3. korak: delimo prvi člen rezultata odštevanja s prvim članom delitelja:
6x: 3x = 2
4. korak: torej imamo (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Zato moramo:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Preberite tudi: Briot-Ruffinijeva praktična naprava - delitev polinoma
rešene vaje
Vprašanje 1 - Kolikšna mora biti vrednost m, da ima polinom P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m stopnjo 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Resolucija
Alternativa A
Da ima P (x) stopnjo 2, mora biti koeficient x³ enak nič, koeficient x² pa mora biti drugačen od nič.
Tako bomo naredili:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Po drugi strani imamo m + 3 ≠ 0.
Torej, m ≠ -3.
Tako imamo za rešitev prve enačbe m = 3 ali m = -3, za drugo pa m ≠ -3, zato je edina rešitev, zaradi katere ima P (x) stopnjo 2, m: = 3.
Vprašanje 2 - (IFMA 2017) Obod slike lahko zapišemo s polinomom:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Resolucija
Alternativa D
Iz slike, ko analiziramo dano dolžino in širino, vemo, da je obod vsota vseh strani. Ker sta dolžina in višina enaki, vsoto danih polinov samo pomnožimo z 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike