Metoda kvadratnega zaključka

Med načini iskanja številčne vrednosti x je postopek znan tudi kot najti korenine enačbe ali poiščite rešitev enačbe, izstopati: Formula bhaskare to je postopek dokončanja kvadratov. Slednje je v središču današnjega besedila.

Število rešitev enačbe je podano s stopnjo. Zato imajo enačbe prve stopnje samo eno rešitev, enačbe tretje stopnje pa tri rešitve in kvadratne enačbe imajo dve rešitvi, imenovani tudi korenine..

Enačbe druge stopnje v zmanjšani obliki lahko zapišemo na naslednji način:

sekira² + bx + c = 0

metoda kvadratnega zaključka

V tem primeru je kvadratna enačba popoln kvadratni trinom

Enačbe druge stopnje, ki izhajajo iz izjemnega izdelka, so znane kot popoln kvadratni trinom. Da bi našli njegove korenine, bomo uporabili spodaj ponazorjeno metodo:

Primer: Izračunaj korenine x enačbe² + 6x + 9 = 0.

Upoštevajte, da je koeficient b 6 = 2 · 3. Če ga želite napisati v obliki izjemnega izdelka, samo preverite, če je c = 3², kar je res, saj 3² = 9 = c. Na ta način lahko zapišemo:

x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0

Upoštevajte, da je opazen izdelek zmnožek med dvema enakima polinoma. V primeru te enačbe bomo imeli:

(x + 3)² = (x + 3) (x + 3) = 0

Izdelek je enak nič, če je eden od njegovih faktorjev enak nič. Zato je za (x + 3) (x + 3) = 0 potrebno, da je (x + 3) = 0 ali (x + 3) = 0. Od tod dva enaka rezultata za x enačbo² + 6x + 9 = 0, ki so: x = - 3 ali x = - 3.

V kratkem: za rešitev x enačbe² + 6x + 9 = 0, zapišite:

x² + 6x + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(x + 3) (x + 3) = 0

x = - 3 ali x = - 3

V tem primeru kvadratna enačba ni popoln kvadratni trinom

Enačba sekunde, pri kateri koeficient b in koeficient c ne ustrezata zgoraj določenim relacijam, ni popoln kvadratni trinom. V tem primeru lahko zgoraj poudarjeno metodo reševanja uporabimo z dodatkom nekaj korakov. Upoštevajte naslednji primer:

Primer: Izračunaj korenine x enačbe² + 6x - 7 = 0.

Upoštevajte, da ta enačba ni popoln kvadratni trinom. Da bi lahko bilo, lahko uporabimo naslednje operacije:

Upoštevajte, da je b = 2 · 3, zato je v prvem članu izraz, ki naj se pojavi, x² + 6x + 9, ker je v tem izrazu b = 2 · 3 in c = 3².

Za to "preobrazbo" dodajte 3² na dveh članih te enačbe "podajte" - 7 drugemu članu, izvedite možne operacije in opazujte rezultate:

x² + 6x - 7 + 3² = 0 + 3²

x² + 6x + 3² = 3² + 7

x² + 6x + 9 = 9 + 7

x² + 6x + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√ (x + 3)² = √16

x + 3 = 4 ali x + 3 = - 4

Ta zadnji korak je treba razdeliti na dve enačbi, saj je koren 16 lahko 4 ali - 4 (to se zgodi le v enačbah. Na vprašanje, kaj je koren 16, je odgovor le 4). Torej je treba najti vse možne rezultate. Nadaljevanje:

x + 3 = 4 ali x + 3 = - 4

x = 4 - 3 ali x = - 4 - 3

x = 1 ali x = - 7

V tem primeru koeficient "a" ni enak 1

Prejšnji primeri so namenjeni kvadratnim enačbam, kjer je koeficient "a" enak 1. Če se koeficient "a" razlikuje od 1, samo delite celotno enačbo z vrednostjo "a" in nadaljujte z izračuni na enak način kot v prejšnjem primeru.

Primer: Izračunaj 2x korenine² + 16x - 18 = 0

Upoštevajte, da je a = 2. Torej delite celotno enačbo z 2 in poenostavite rezultate:

2x² + 16x – 18 = 0
 2 2 2 2

x² + 8x - 9 = 0

Ko je to storjeno, ponovite postopke iz prejšnjega primera.

x² + 8x - 9 = 0

x² + 8x - 9 + 16 = 0 + 16

x² + 8x + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√ (x + 4)² = √25

x + 4 = 5 ali x + 4 = –5

x = 5 - 4 ali x = - 5 - 4

x = 1 ali x = - 9

Pomembni izdelki in enačbe druge stopnje: izvor metode dokončanja kvadratov

Kvadratne enačbe so podobne izjemnim izdelkom vsota kvadrat in kvadrat razlike.

Na primer vsota kvadratov je vsota dveh monomov na kvadrat. Pazi:

(x + k)² = x² + 2kx + k²

Prvi član zgornje enakosti je znan kot izjemen izdelek drugi pa kako popoln kvadratni trinom. Slednje je zelo podobno enačbi druge stopnje. Pazi:

Popoln kvadratni trinom: x² + 2kx + k²

Enačba druge stopnje: sekira² + bx + c = 0

Na ta način, če sploh obstaja možnost zapisati kvadratno enačbo kot izjemen izdelek, morda obstaja tudi način, kako najti svoje rezultate, ne da bi morali uporabiti formulo Bhaskara.

Če želite to narediti, upoštevajte, da sta v zgornjem opaznem izdelku a = 1, b = 2 · k in c = k². Na ta način je mogoče enačbe, ki izpolnjujejo te zahteve, napisati v obliki izjemnega izdelka.

Poglejte torej koeficiente v enačbi. Če se "a" razlikuje od 1, razdelite celotno enačbo na vrednost "a". V nasprotnem primeru upoštevajte koeficient "b". Številčna vrednost polovice tega koeficienta mora biti enaka številčni vrednosti kvadratnega korena koeficienta "c". Matematično glede na enačbo ax² + bx + c = 0, če je a = 1 in poleg tega:

B = c
2

Tako lahko to enačbo zapišete takole:

sekira² + bx + c = (x + B) = 0
2

In njegove korenine bodo - B in + b.
2 2

Od tod tudi vsa teorija, uporabljena za izračun korenin kvadratnih enačb z metodo dopolnjevanja kvadratov.

Avtor Luiz Paulo Moreira
Diplomiral iz matematike

Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm