Aritmetično napredovanje (P.A.)

THE Aritmetično napredovanje (P.A.) je zaporedje števil, kjer je razlika med dvema zaporednima izrazoma vedno enaka. Ta stalna razlika se imenuje P.A.

Tako so od drugega elementa zaporedja naprej številke, ki se pojavijo, rezultat vsote konstante z vrednostjo prejšnjega elementa.

To je tisto, kar ga razlikuje od geometrijskega napredovanja (PG), saj se v tem števila pomnožijo z razmerjem, medtem ko se v aritmetičnem napredovanju seštejejo.

Aritmetična napredovanja imajo lahko določeno število izrazov (končni P.A.) ali neskončno število izrazov (neskončno P.A.).

Da označimo, da se zaporedje nadaljuje za nedoločen čas, uporabimo elipse, na primer:

• zaporedje (4, 7, 10, 13, 16, ...) je neskončen P.A.
• zaporedje (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) je končni P.A.

Vsak izraz P.A. je opredeljen s položajem, ki ga zaseda v zaporedju, in za predstavitev vsakega izraza uporabimo črko (običajno črko The), čemur sledi številka, ki označuje njegov položaj v zaporedju.

Na primer izraz The₄ v P.A (2, 4, 6, 8, 10) je število 8, saj je to število, ki zaseda 4. mesto v zaporedju.

Razvrstitev P.A.

Glede na vrednost razmerja se aritmetične progresije razvrstijo na:

• Stalno: ko je razmerje enako nič. Na primer: (4, 4, 4, 4, 4 ...), kjer je r = 0.
• Gojenje: ko je razmerje večje od nič. Na primer: (2, 4, 6, 8,10 ...), kjer je r = 2.
• padajoče: kadar je razmerje manjše od nič (15, 10, 5, 0, - 5, ...), kjer je r = - 5

Lastnosti P.A.

1. lastnost:

V končnem P.A. je vsota dveh izrazov, enako oddaljenih od skrajnosti, enaka vsoti skrajnosti.

Primer

2. lastnost:

Upoštevajoč tri zaporedne člene P.A., bo srednji člen enak aritmetični sredini ostalih dveh členov.

Primer

3. lastnost:

V končnem P.A. z neparnim številom izrazov bo osrednji člen enak aritmetični sredini med izrazi, ki so od njega enako oddaljeni. Ta lastnost izhaja iz prve.

Formula splošnega izraza

Kje,

an: izraz, ki ga želimo izračunati
a1: prvi mandat P.A.
n: položaj izraza, ki ga želimo odkriti
r: razlog

Razlaga formule

Ker je razmerje med P.A. konstantno, lahko njegovo vrednost izračunamo iz katerega koli zaporednega izraza, to je:

Zato lahko vrednost drugega izraza PA poiščemo tako, da naredimo:

Za iskanje tretjega izraza bomo uporabili isti izračun:

Zamenjava vrednosti a₂, ki smo ga našli že prej, imamo:

Če sledimo istemu razmišljanju, lahko najdemo:

Ob opazovanju najdenih rezultatov ugotavljamo, da bo vsak člen enak vsoti prvega izraza z razmerjem, pomnoženim s prejšnjim položajem.

Ta izračun je izražen s formulo splošnega izraza P.A., ki nam omogoča, da poznamo kateri koli element aritmetičnega napredovanja.

Primer

Izračunajte 10. člen P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)

Rešitev

Najprej moramo ugotoviti, da:

The₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10. mandat).

Če te vrednosti nadomestimo s formulo splošnega izraza, imamo:

The_št =₁ + (n - 1). r
The₁₀ = 26 + (10-1). 5
The₁₀ = 26 + 9 .5
The₁₀ = 71

Zato je deseti člen navedenega aritmetičnega napredovanja enak 71.

Formula splošnega izraza iz katerega koli k izraza

Pogosto za opredelitev katerega koli splošnega izraza, ki ga imenujemo an, nimamo prvega izraza a1, poznamo pa kateri koli drug izraz, ki ga imenujemo ak.

Lahko uporabimo formulo splošnega izraza iz katerega koli k izraza:

Edina razlika je bila sprememba indeksa 1 v prvi formuli na k v drugi.

Biti,

an: n-ti izraz P.A. (izraz v katerem koli n položaju)
ak: k-ti izraz P.A. (izraz na katerem koli k položaju)
r: razlog

Vsota pogojev P.A.

Če želite poiskati vsoto izrazov končnega P.A., uporabite formulo:

Kje,

s_št: vsota prvih n izrazov P.A.
The₁: prvi mandat P.A.
The_št: zaseda n-ti položaj v zaporedju (izraz na položaju n)
št: termin položaj

Preberite tudi o PA in PG.

Vaja rešena

Vaja 1

PUC / RJ - 2018

Kolikšna je vsota y + z, če vemo, da so številke v zaporedju (y, 7, z, 15) v aritmetičnem napredovanju?

a) 20
b) 14.
c) 7
d) 3.5
e) 2

Glejte Odgovor

Za iskanje vrednosti z lahko uporabimo lastnost, ki pravi, da bo srednji člen, ko imamo tri zaporedne izraze, enak aritmetični sredini ostalih dveh. Torej imamo:

Če je z enako 11, bo razmerje enako:

r = 11 - 7 = 4

Na ta način bo y enak:

y = 7 - 4 = 3

Zato:

y + z = 3 + 11 = 14

Alternativa: b) 14

Vaja 2

MSRP - 2017

Na spodnji sliki imamo zaporedje pravokotnikov, vseh višin a. Osnova prvega pravokotnika je b, nadaljnji pravokotniki pa osnovna vrednost prejšnjega plus merska enota. Tako je osnova drugega pravokotnika b + 1, tretjega pa b + 2 itd.

Upoštevajte spodnje izjave.

I - Zaporedje pravokotnih površin je aritmetično napredovanje razmerja 1.
II - Zaporedje pravokotnih površin je aritmetično napredovanje razmerja a.
III - Zaporedje površin pravokotnikov je geometrijsko napredovanje razmerja a.
IV - Območje n-tega pravokotnika (A_št) lahko dobimo s formulo A_št = a. (b + n - 1).

Preverite možnost, ki vsebuje pravilne izjave.

tam.
b) II.
c) III.
d) II in IV.
e) III in IV.

Glejte Odgovor

Pri izračunu površine pravokotnikov imamo:

A = a. B
THE₁ = a. (b + 1) = a. b + a
THE₂ = a. (b + 2) = a. B. + 2.
THE₃ = a. (b + 3) = a. b + 3a

Iz najdenih izrazov ugotavljamo, da zaporedje tvori P.A. razmerja, ki je enako The. V nadaljevanju zaporedja bomo našli površino n-tega pravokotnika, ki je podan z:

THE_št= a. b + (n - 1) .a
THE_št = a. b + a. ob

dajanje The kot dokaz imamo:

THE_št = a (b + n - 1)

Alternativa: d) II in IV.

3. vaja

UERJ

Priznajte izvedbo nogometnega prvenstva, v katerem opozorila, ki jih prejmejo športniki, predstavljajo le rumeni kartoni. Te kartice se pretvorijo v globe v skladu z naslednjimi merili:

• Prvi dve prejeti karti ne ustvarjata glob;
• Tretja karta povzroči 500,00 R globe.
• Naslednje kartice povzročajo globe, katerih vrednosti se vedno povečajo za 500,00 R $ glede na vrednost prejšnje globe.

Tabela prikazuje globe, povezane s prvimi petimi kartami, naložene športniku.

Razmislite o športniku, ki je med prvenstvom prejel 13 rumenih kartonov. Skupni znesek glob, ki jih ustvarijo vse te kartice, je:

a) 30.000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Glejte Odgovor

Pravilen odgovor: b) 33 000

Od tretjega rumenega kartona se znesek globe v P.A. poveča z razmerjem 500,00 R $. Upoštevajoč prvi člen, a1, z vrednostjo tretje kartice, R $ 500,00.

Za določitev skupnega zneska glob moramo uporabiti formulo vsote pogojev P.A.

Ker ima športnik 13 rumenih kartonov, vendar prva dva ne povzročata glob, bomo naredili P.A. 13-2 pogojev, to je 11 mandatov.

Tako imamo naslednje vrednosti:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Za iskanje vrednosti n-tega člana, a11, uporabimo formulo splošnega izraza.

an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Uporaba formule vsote izrazov P.A.

Rešite več vaj v:

Aritmetično napredovanje - vaje

Več o tem preberite tudi:

• Numerično zaporedje
• Geometrijsko napredovanje
• Geometrijski napredek - vaje
• Matematične formule