Matrice: komentirane in rešene vaje

Matrica je tabela, ki jo tvorijo realna števila, razporejena v vrstice in stolpce. Številke, ki se pojavijo v matriki, se imenujejo elementi.

Izkoristite rešena in komentirana vprašanja sprejemnega izpita, da počistite vse svoje dvome glede te vsebine.

Rešene težave s sprejemnim izpitom

1) Unicamp - 2018

Naj bosta a in b realni števili, takšni, da je matrika A = izpolnjuje enačbo A²= aA + bI, kjer je I identitetna matrika reda 2. Torej je zmnožek ab enak

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Glejte Odgovor

Da bi ugotovili vrednost izdelka a.b, moramo najprej poznati vrednost a in b. Poglejmo torej enačbo, podano v problemu.

Za rešitev enačbe izračunajmo vrednost A², ki se izvede tako, da matriko A pomnožimo samo s seboj, to je:

Ta postopek se izvede tako, da se vrstice prve matrike pomnožijo s stolpci druge matrike, kot je prikazano spodaj:

Na ta način matrika A² to je enako kot:

Upoštevajoč pravkar ugotovljeno vrednost in se spomnimo, da so v identitetni matriki elementi glavne diagonale enaki 1, drugi elementi pa 0, bo enačba:

Zdaj moramo matrico A pomnožiti s številom a in identitetno matriko s številom b.

Ne pozabite, da za pomnožitev števila z matriko pomnožimo število z vsakim elementom polja.

Tako bo naša enakost enaka:

Če dodamo dve matriki, imamo:

Dve matriki sta enaki, če so vsi ustrezni elementi enaki. Na ta način lahko zapišemo naslednji sistem:

Izolacija a v drugi enačbi:

Z nadomestitvijo vrednosti, najdene za a v prvi enačbi, najdemo vrednost b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Tako bo izdelek dobil:

The. b = - 1. 2
The. b = - 2

Alternativa: a) −2.

2) Unesp - 2016

Točko P koordinat (x, y) pravokotne kartezične ravnine predstavlja matrika stolpca. , kot tudi matrika stolpca predstavlja v pravokotni kartezijanski ravnini točko P koordinat (x, y). Tako je rezultat množenja matrike je matrika stolpca, ki v pravokotni kartezijanski ravnini nujno predstavlja točko, ki je

a) vrtenje P za 180 ° v smeri urinega kazalca in s središčem pri (0, 0).
b) vrtenje P za 90 ° v nasprotni smeri urnega kazalca s središčem pri (0, 0).
c) simetrično P glede na vodoravno os x.
d) simetrično P glede na navpično os y.
e) vrtenje P za 90 ° v smeri urnega kazalca in s središčem pri (0, 0).

Glejte Odgovor

Točko P predstavlja matrika, tako da absciso (x) označuje element a.₁₁ in ordinata (y) po elementu a₂₁ matrike.

Da bi našli nov položaj točke P, moramo rešiti množenje predstavljenih matrik in rezultat bo:

Rezultat predstavlja novo koordinato točke P, to je, da je abscisa enaka -y, ordinata pa x.

Za identifikacijo transformacije, ki jo je opravil položaj točke P, predstavimo stanje v kartezični ravnini, kot je navedeno spodaj:

Zato se je točka P, ki se je najprej nahajala v 1. kvadrantu (pozitivna abscisa in ordinata), premaknila v 2. kvadrant (negativna abscisa in pozitivna ordinata).

Pri premikanju v ta novi položaj se je točka zasukala v nasprotni smeri urnega kazalca, kot je na zgornji sliki prikazana z rdečo puščico.

Še vedno moramo ugotoviti, kakšna je bila vrednost kota vrtenja.

Če prvotni položaj točke P povežemo s središčem kartezijske osi in naredimo enako glede na njen novi položaj P ', imamo naslednjo situacijo:

Upoštevajte, da sta na sliki navedena trikotnika skladna, to pomeni, da imata enake mere. Na ta način so tudi njihovi koti enaki.

Poleg tega se kota α in θ dopolnjujeta, saj je vsota notranjih kotov trikotnikov enaka 180 ° in ker je trikotnik pravokoten, bo vsota teh dveh kotov enaka 90 °.

Zato je lahko kot vrtenja točke, ki je na sliki označen z β, enak samo 90 °.

Druga možnost: b) vrtenje P za 90 ° v nasprotni smeri urnega kazalca s središčem na (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Ker je a realno število, upoštevajmo matriko A = . Torej²⁰¹⁷ je enako kot
The)
B)
ç)
d)

Glejte Odgovor

Najprej poskusimo najti vzorec za moči, saj je veliko dela, da matriko A pomnožimo samo po sebi 2017-krat.

Spomnimo se, da pri množenju matric vsak element najdemo tako, da dodamo rezultate množenja elementov v vrstici enega z elementi v stolpcu drugega.

Začnimo z izračunom A²:

Rezultat je bila matrika identitete in ko katero koli matriko pomnožimo z matriko identitete, bo rezultat matrica sama.

Zato je vrednost A³ bo enaka matriki A, saj je A³ = A². THE.

Ta rezultat se bo ponovil, to je, kadar je eksponent sodo, je rezultat identitetna matrika in kadar je nenavadna, bo to matrika A sama.

Ker je leto 2017 čudno, bo rezultat enak matrici A.

Alternativa: b)

4) UFSM - 2011

Navedeni diagram predstavlja poenostavljeno prehranjevalno verigo določenega ekosistema. Puščice označujejo vrsto, s katero se prehranjujejo druge vrste. Če pripišemo vrednost 1, ko se ena vrsta hrani z drugo, in nič, ko se zgodi nasprotno, imamo naslednjo tabelo:

Matrika A = (a_ij)_4x4, povezan s tabelo, ima naslednji zakon o usposabljanju:

Glejte Odgovor

Ker je številka vrstice označena z i, številka stolpca pa j, in ob pogledu na tabelo opazimo, da kadar je i enako j ali je i večji od j, je rezultat nič.

Položaji, ki jih zaseda 1, so tisti, pri katerih je številka stolpca večja od številke vrstice.

Alternativa: c)

5) Unesp - 2014

Razmislimo o matrični enačbi A + BX = X + 2C, katere neznanka je matrica X in vse matrike so kvadratne vrstice n. Nujni in zadosten pogoj, da ima enačba eno samo rešitev, je, da:

a) B - I ≠ O, pri čemer je I identitetna matrika reda n in O ničelna matrika reda n.
b) B je obrnljiv.
c) B ≠ O, kjer je O ničelna matrika reda n.
d) B - I je obrnljiv, pri čemer sem I identitetna matrika reda n.
e) A in C sta obrnljivi.

Glejte Odgovor

Za rešitev matrične enačbe moramo izolirati X na eni strani znaka enačbe. Za to najprej odštejmo matrico A na obeh straneh.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Zdaj odštejmo X, tudi na obeh straneh. V tem primeru bo enačba:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X. (B - I) = 2C - A

Ker sem matrika identitete, ko matrico pomnožimo z identiteto, je rezultat matrica sama.

Torej, da bi izolirali X, moramo zdaj pomnožiti obe strani enakovrednega znaka z inverzno matrico (B-I), to je:

X. (B - I). (B - I) ^{- 1} = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Če se matrica obrne, je zmnožek matrice na inverzno enak matriki identitete.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Tako bo enačba imela rešitev, kadar je B - I obrnljiv.

Alternativa: d) B - I je obrnljiv, pri čemer sem I identitetna matrika reda n.

6) Enem - 2012

Študent je dvomesečne ocene nekaterih predmetov zapisal v tabelo. Opozoril je, da so številčni vnosi v tabelo tvorili matriko 4x4 in da lahko z uporabo matrike izračuna letna povprečja za te discipline. Vsi testi so imeli enako težo, tabela, ki jo je dobil, je prikazana spodaj

Za pridobitev teh povprečij je matriko, dobljeno iz tabele, pomnožil z

Glejte Odgovor

Aritmetična sredina se izračuna z dodajanjem vseh vrednosti in deljenjem s številom vrednosti.

Tako mora študent dodati ocene 4 bimetrov in rezultat razdeliti na 4 ali vsako oceno pomnožiti z 1/4 in dodati vse rezultate.

Z uporabo matric lahko dosežemo enak rezultat z množenjem matrik.

Vendar se moramo zavedati, da je mogoče pomnožiti dve matriki le, če je število stolpcev v enem enako številu vrstic v drugem.

Ker ima matrica zapiskov 4 stolpce, mora matrica, ki jo bomo množili, imeti 4 vrstice. Tako moramo pomnožiti z matriko stolpcev:

Alternativa: in

7) Fuvest - 2012

Razmislite o matriki , Na čem The je resnično število. Vedeti, da A prizna obratno A^-1 katerega prvi stolpec je , vsota elementov glavne diagonale A^-1 je enako kot

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Glejte Odgovor

Množenje matrike z njeno inverzno je enako identitetni matrici, zato lahko situacijo predstavimo z naslednjo operacijo:

Rešimo množenje druge vrstice prve matrike s prvim stolpcem druge matrice, imamo naslednjo enačbo:

(do 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a - 2 = 0
a = 2

Če v matrici nadomestimo vrednost a, imamo:

Zdaj, ko matrico poznamo, izračunajmo njeno determinanto:

Tako bo vsota glavne diagonale enaka 5.

Alternativa: a) 5

Če želite izvedeti več, glejte tudi:

• Matrice
• Določila
• Sarrusovo pravilo
• Laplaceov izrek
• Prenesena matrica