Srednješolska enačba: komentirane vaje in tekmovalna vprašanja

Ena enačba druge stopnje je celotna enačba v obliki sekira² + bx + c = 0, z a, b in c realnimi števili in a ≠ 0. Za reševanje enačbe te vrste lahko uporabite različne metode.

Izkoristite resolucije, opisane v spodnjih vajah, da razjasnite vse svoje dvome. Prav tako preverite svoje znanje z razrešenimi natečajnimi vprašanji.

Komentirane vaje

Vaja 1

Starost moje mame, pomnožena z mojo starostjo, je 525. Če je bila moja mati 20 let stara, koliko sem stara?

Rešitev

Glede na mojo starost enako x, potem lahko štejemo, da je starost moje mame enaka x + 20. Kako potem vemo vrednost izdelka naše starosti, potem:

x. (x + 20) = 525

Uporaba distribucijskih lastnosti množenja:

x² + 20 x - 525 = 0

Nato pridemo do popolne enačbe 2. stopnje z a = 1, b = 20 in c = - 525.

Za izračun korenin enačbe, to je vrednosti x, kjer je enačba enaka nič, uporabimo Bhaskarovo formulo.

Najprej moramo izračunati vrednost ∆:

Za izračun korenin uporabljamo:

Z nadomestitvijo vrednosti v zgornji formuli bomo našli korenine enačbe, kot je ta:

Ker moja starost ne more biti negativna, zaničujemo vrednost -35. Rezultat je torej 15 let.

Vaja 2

Kvadrat, predstavljen na spodnji sliki, ima pravokotno obliko in je njegova površina enaka 1 350 m². Če veste, da njegova širina ustreza 3/2 višine, določite dimenzije kvadrata.

Rešitev

Glede na to, da je njegova višina enaka x, širina bo nato enaka 3 / 2x. Površina pravokotnika se izračuna tako, da se njegova osnova pomnoži z vrednostjo višine. V tem primeru imamo:

Prišli smo do nepopolne enačbe 2. stopnje z a = 3/2, b = 0 in c = - 1350, to vrsto enačbe lahko izračunamo tako, da izoliramo x in izračunamo vrednost kvadratnega korena.

Ker vrednost x predstavlja višinsko mero, ne bomo upoštevali - 30. Tako je višina pravokotnika enaka 30 m. Za izračun širine pomnožimo to vrednost s 3/2:

Zato je kvadratna širina enaka 45 m in njegova višina je enaka 30 m.

3. vaja

Torej, da je x = 1 koren enačbe 2ax² + (2.² - a - 4) x - (2 + a²) = 0, vrednosti a bi morale biti:

a) 3 in 2
b) - 1 in 1
c) 2 in - 3
d) 0 in 2
e) - 3 in - 2

Rešitev

Če želite najti vrednost a, najprej zamenjajmo x z 1. Tako bo enačba videti tako:

2.a.1² + (2.² - do - 4). 1 - 2 - a² = 0
2. + 2.² - do - 4 - 2 - do² = 0
The² + do - 6 = 0

Zdaj moramo izračunati koren celotne enačbe 2. stopnje, za to bomo uporabili Bhaskarovo formulo.

Zato je pravilna alternativa črka C.

Natečajna vprašanja

1) Epcar - 2017

Upoštevajmo v ℝ enačbo (m+2) x² - 2mx + (m - 1) = 0 v spremenljivki x, kjer m je realno število, ki ni - 2.

Preglejte spodnje trditve in jih ocenite kot V (TRUE) ali F (FALSE).

() Za vse m> 2 ima enačba prazen niz rešitev.
() Obstajata dve realni vrednosti m, da enačba prizna enake korenine.
() V enačbi, če je ∆> 0, potem lahko m prevzame le pozitivne vrednosti.

Pravilno zaporedje je

a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - Ž - Ž

Glejte Odgovor

Oglejmo si vsako od trditev:

Za vse m> 2 ima enačba prazen niz rešitev

Ker je enačba druge stopnje v ℝ, ne bo imela rešitve, če je delta manjša od nič. Pri izračunu te vrednosti imamo:

Torej je prva trditev resnična.

Obstajata dve realni vrednosti m, da enačba prizna enake korenine.

Enačba bo imela enake realne korenine, če je Δ = 0, to je:

- 4m + 8 = 0
m = 2

Zato je trditev napačna, saj obstaja le ena vrednost m, kjer so korenine resnične in enake.

Če je the> 0, je v enačbi m lahko le pozitivne vrednosti.

Pri Δ> 0 imamo:

Ker je v množici neskončnih realnih števil negativna števila manjša od 2, je tudi trditev napačna.

Alternativa d: V-Ž-Ž

2) Coltec - UFMG - 2017

Laura mora v "domu" rešiti enačbo 2. stopnje, vendar se zaveda, da je pri kopiranju s table v zvezek pozabila kopirati koeficient x. Za rešitev enačbe jo je zapisal na naslednji način: 4x² + sekira + 9 = 0. Ker je vedela, da ima enačba samo eno rešitev in je bila ta pozitivna, je lahko določila vrednost a, kar je

a) - 13
b) - 12
c) 12.
d) 13

Glejte Odgovor

Ko ima enačba 2. stopnje eno samo rešitev, je delta iz Bhaskarove formule enaka nič. Torej, da bi našli vrednost The, samo izračunajte delto, tako da je njena vrednost enaka nič.

Torej, če je a = 12 ali a = - 12, bo enačba imela samo en koren. Vendar moramo še vedno preveriti, katera od vrednosti The rezultat bo pozitiven koren.

Za to poiščimo koren za vrednosti The.

Torej bo za a = -12 enačba imela samo en koren in pozitivno.

Alternativa b: -12

3) Enem - 2016

Predor mora biti zatesnjen z betonskim pokrovom. Prerez predora in betonski pokrov imata konture loka parabole in enakih dimenzij. Za določitev stroškov dela mora inženir izračunati površino pod zadevnim paraboličnim lokom. Z uporabo vodoravne osi na tleh in osi simetrije parabole kot navpične osi je za parabolo dobil naslednjo enačbo:
y = 9 - x², kjer se x in y merita v metrih.
Znano je, da je površina pod takšno parabolo enaka 2/3 površine pravokotnika, katerega mere so enake dnu in višini vhoda v predor.
Kolikšna je površina sprednje strani betonskega pokrova, v kvadratnih metrih?

a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54

Glejte Odgovor

Da bi rešili to težavo, moramo najti meritve dna in višine vhoda v predor, kot problem nam pove, da je površina sprednje strani enaka 2/3 površine pravokotnika s temi dimenzijami.

Te vrednosti bomo našli iz podane enačbe 2. stopnje. Parabola te enačbe ima konkavnost obrnjeno navzdol, ker je koeficient The je negativno. Spodaj je oris te prispodobe.

Iz grafa lahko vidimo, da bomo mero osnove rova ​​našli z izračunom korenin enačbe. Že njegova višina bo enaka meri oglišča.

Za izračun korenin opazimo, da enačba 9 - x² je nepopolna, zato lahko njene korenine poiščemo tako, da enačbo enačimo ničli in izoliramo x:

Zato bo meritev dna predora enaka 6 m, to je razdalja med obema koreninama (-3 in 3).

Če pogledamo graf, vidimo, da točka oglišča ustreza vrednosti na osi y, da je x enaka nič, zato imamo:

Zdaj, ko poznamo meritve dna in višine predora, lahko izračunamo njegovo površino:

Alternativa c: 36

4) Cefet - RJ - 2014

Za katero vrednost "a" ima enačba (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 dve korenini in enaka?

do 1
b) 0
c) 1
d) 2

Glejte Odgovor

Da ima enačba 2. stopnje dve enaki korenini, mora biti Δ = 0, to je b²-4ac = 0. Pred izračunom delte moramo enačbo zapisati v obliki ax² + bx + c = 0.

Začnemo lahko z uporabo distribucijske lastnine. Vendar ugotavljamo, da se (x - 2) ponovi v obeh izrazih, zato naj to dokažemo:

(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (os -2) = 0

Zdaj pri distribuciji izdelka imamo:

sekira² - 2x - 2ax + 4 = 0

Pri izračunu Δ in enakem ničli najdemo:

Torej, ko je a = 1, bo imela enačba dve enaki korenini.

Alternativa c: 1

Če želite izvedeti več, glejte tudi:

• Enačba druge stopnje
• Enačba prve stopnje
• Kvadratna funkcija
• Kvadratna funkcija - vaje
• Linearna funkcija
• Povezane vaje funkcij