Enačbeni sistemi 1. stopnje: komentirane in rešene vaje

Sistemi enačb 1. stopnje so sestavljeni iz niza enačb, ki predstavljajo več kot eno neznano.

Reševanje sistema je iskanje vrednosti, ki hkrati izpolnjujejo vse te enačbe.

Številne probleme rešujemo s pomočjo sistemov enačb. Zato je pomembno poznati načine reševanja za to vrsto izračuna.

Izkoristite rešene vaje, da razrešite vse svoje dvome glede te teme.

Komentirana in rešena vprašanja

1) Mornarski vajenci - 2017

Vsota števila x in dvakrat števila y je - 7; in razlika med trojko tega števila x in številom y je enaka 7. Zato je pravilno trditi, da je zmnožek xy enak:

a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2

Glejte Odgovor

Začnimo z gradnjo enačb glede na stanje, predlagano v problemu. Tako imamo:

x + 2.y = - 7 in 3.x - y = 7

Vrednosti x in y morata hkrati izpolnjevati obe enačbi. Zato tvorijo naslednji sistem enačb:

Ta sistem lahko rešimo z metodo dodajanja. Če želite to narediti, pomnožimo drugo enačbo z 2:

Seštevanje dveh enačb:

Če nadomestimo vrednost x, ugotovljeno v prvi enačbi, imamo:

1 + 2y = - 7
2y = - 7 - 1

Tako bo zmnožek xy enak:

x.y = 1. (- 4) = - 4

Alternativa: d) - 4

2) Vojaška šola / RJ - 2014

Vlak potuje iz enega mesta v drugo vedno s stalno hitrostjo. Ko se potovanje opravi s 16 km / h večjo hitrostjo, se porabljeni čas zmanjša za dve uri in pol, ko se opravi s 5 km / h manj, pa se porabljeni čas poveča za eno uro. Kakšna je razdalja med temi mesti?

a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km

Glejte Odgovor

Ker je hitrost konstantna, lahko uporabimo naslednjo formulo:

Nato razdaljo poiščemo tako:

d = v.t

Za prvo situacijo imamo:

v₁ = v + 16 in t₁ = t - 2,5

Zamenjava teh vrednosti v formuli razdalje:

d = (v + 16). (t - 2,5)
d = v.t - 2,5v + 16t - 40

V enačbi lahko v.t nadomestimo z d in poenostavimo:

-2,5v + 16t = 40

V primeru, ko se hitrost zmanjša:

v₂ = v - 5 in t₂ = t + 1

Enaka zamenjava:

d = (v -5). (t + 1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5

S tema dvema enačbama lahko sestavimo naslednji sistem:

Rešitev sistema z substitucijsko metodo, izolirajmo v v drugi enačbi:

v = 5 + 5t

Zamenjava te vrednosti v prvi enačbi:

-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t = 40 + 12,5
3,5t = 52,5

Zamenjajmo to vrednost, da poiščemo hitrost:

v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km / h

Če želite najti razdaljo, preprosto pomnožite najdene vrednosti hitrosti in časa. Tako:

d = 80. 15 = 1200 km

Alternativa: a) 1200 km

3) Mornarski vajenci - 2016

Študent je plačal prigrizek 8 realov v 50 centih in 1 reala. Vedoč, da je za to plačilo študent uporabil 12 kovancev, določi zneske 50 centov in en pravi kovanec, s katerim so plačali prigrizek in označili pravilno možnost.

a) 5 in 7
b) 4 in 8
c) 6 in 6
d) 7 in 5
e) 8 in 4

Glejte Odgovor

Glede na x število kovancev za 50 centov, y število kovancev za 1 dolar in znesek, plačan 8 realov, lahko zapišemo naslednjo enačbo:

0,5x + 1y = 8

Vemo tudi, da je bilo pri plačilu uporabljenih 12 kovancev, zato:

x + y = 12

Sestavljanje in reševanje sistema z dodajanjem:

Nadomeščanje najdene vrednosti x v prvi enačbi:

8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4

Alternativa: e) 8 in 4

4) Colégio Pedro II - 2014

Iz škatle, ki vsebuje B bele kroglice in P črne kroglice, so odstranili 15 belih kroglic, med ostalimi kroglicami pa je ostalo razmerje 1 bela proti 2 črni. Nato je bilo odstranjenih 10 črncev, v škatli pa je ostalo nekaj kroglic v razmerju 4 beli proti 3 črnce. Sistem enačb za določanje vrednosti B in P lahko predstavimo z:

Glejte Odgovor

Glede na prvo situacijo, navedeno v težavi, imamo naslednji delež:

Če pomnožimo ta delež "v križ", imamo:

2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30

Naredimo enako za naslednjo situacijo:

3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5

Če te enačbe združimo v sistem, najdemo odgovor na težavo.

Alternativa: a)

5) Faetec - 2012

Carlos je v enem vikendu rešil 36 matematičnih vaj več kot Nilton. Če vemo, da je bilo skupno število vaj, ki sta jih rešila oba, 90, je število vaj, ki jih je Carlos rešil, enako:

a) 63
b) 54
c) 36
d) 27.
e) 18

Glejte Odgovor

Če upoštevamo x kot število vaj, ki jih je rešil Carlos, in y kot število vaj, ki jih je rešil Nilton, lahko nastavimo naslednji sistem:

Če v drugi enačbi x nadomestimo z y + 36, imamo:

y + 36 + y = 90
2y = 90 - 36

Zamenjava te vrednosti v prvi enačbi:

x = 27 + 36
x = 63

Alternativa: a) 63

6) Enem / PPL - 2015

Šotor za zabavo v zabaviščnem parku bo udeležencu podelil nagrado v višini 20 R R, vsakič ko bo zadel tarčo. Po drugi strani pa mora vsakič, ko zgreši cilj, plačati 10,00 USD. Za igro ni treba plačati prvotno. En udeleženec je sprožil 80 strelov in na koncu prejel 100,00 R $. Kolikokrat je ta udeleženec zadel tarčo?

a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64

Glejte Odgovor

Kjer je x število strelov, ki so zadeli tarčo, y pa število napačnih strelov, imamo naslednji sistem:

Ta sistem lahko rešimo z metodo seštevanja, vse člene druge enačbe bomo pomnožili z 10 in dodali obe enačbi:

Zato je udeleženec tarčo zadel 30-krat.

Alternativa: a) 30

7) Enem - 2000

Zavarovalnica je zbrala podatke o avtomobilih v določenem mestu in ugotovila, da vsako leto ukradejo povprečno 150 avtomobilov. Število ukradenih avtomobilov znamke X je dvakrat večje od števila ukradenih avtomobilov znamke Y, blagovni znamki X in Y pa skupaj predstavljata približno 60% ukradenih avtomobilov. Pričakovano število ukradenih avtomobilov znamke Y je:

a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60

Glejte Odgovor

Problem kaže, da je število ukradenih avtomobilov znamk x in y skupaj enakovredno 60% celotnega števila, torej:

150.0,6 = 90

Glede na to vrednost lahko zapišemo naslednji sistem:

Če v drugi enačbi nadomestimo vrednost x, imamo:

2y + y = 90
3y = 90

Alternativa: b) 30

Glej tudi: Vaje na enačbi 1. stopnje z neznanim