Pitagorov izrek: rešitve in komentirane vaje

Pitagorin izrek kaže, da je v pravokotnem trikotniku kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov ukrepov kraka.

Izkoristite razrešene in komentirane vaje, da odgovorite na vse vaše dvome o tej pomembni vsebini.

Predlagane vaje (z ločljivostjo)

Vprašanje 1

Carlos in Ana sta od doma odšla na službo iz iste točke, garaže stavbe, v kateri živita. Po 1 minuti potovanja po pravokotni poti sta bila oddaljena 13 m.

Če je bil Carlosov avto v tem času 7 m več kot Anin, kako daleč so bili od garaže?

a) Carlos je bil od garaže oddaljen 10 m, Ana pa 5 m.
b) Carlos je bil od garaže oddaljen 14 m, Ana pa 7 m.
c) Carlos je bil od garaže oddaljen 12 m, Ana pa 5 m.
d) Carlos je bil od garaže oddaljen 13 m, Ana pa 6 m.

Glejte Odgovor

Pravilen odgovor: c) Carlos je bil od garaže oddaljen 12 m, Ana pa 5 m.

Strani pravokotnega trikotnika, oblikovanega v tem vprašanju, so:

• hipotenuza: 13 m
• večja noga: 7 + x
• krajša noga: x

Če uporabimo vrednosti iz Pitagorinega izreka, imamo:

Zdaj uporabimo Bhaskarovo formulo, da poiščemo vrednost x.

Ker gre za merilo dolžine, moramo uporabiti pozitivno vrednost. Zato so stranice pravokotnega trikotnika, oblikovane v tem vprašanju:

• hipotenuza: 13 m
• daljša noga: 7 + 5 = 12 m
• krajša noga: x = 5 m

Tako je bila Ana 5 metrov od garaže, Carlos pa 12 metrov.

2. vprašanje

Carla, ko je iskala svojega mucka, ga je videla na vrhu drevesa. Nato je prosila mamo za pomoč in postavili so lestev ob drevo, da bi mački pomagali dol.

Če veste, da je bila mačka oddaljena 8 metrov od tal, podstavek lestve pa 6 metrov od drevesa, kako dolgo je bila lestev uporabljena za reševanje mucka?

a) 8 metrov.
b) 10 metrov.
c) 12 metrov.
d) 14 metrov.

Glejte Odgovor

Pravilen odgovor: b) 10 metrov.

Upoštevajte, da višina, na kateri je mačka, in razdalja, na kateri je postavljeno dno lestve, tvorita pravi kot, to je kot 90 stopinj. Ker je lestev postavljena nasproti pravega kota, potem njena dolžina ustreza hipotenuzi pravokotnega trikotnika.

Z uporabo vrednosti iz Pitagorinega izreka odkrijemo vrednost hipotenuze.

Zato je lestev dolga 10 metrov.

3. vprašanje

Glede na ukrepe, predstavljene v spodnjih alternativah, ki predstavlja vrednosti pravokotnega trikotnika?

a) 14 cm, 18 cm in 24 cm
b) 21 cm, 28 cm in 32 cm
c) 13 cm, 14 cm in 17 cm
d) 12 cm, 16 cm in 20 cm

Glejte Odgovor

Pravilen odgovor: d) 12 cm, 16 cm in 20 cm.

Da bi ugotovili, ali predstavljeni ukrepi tvorijo pravokoten trikotnik, moramo za vsako alternativo uporabiti Pitagorin izrek.

a) 14 cm, 18 cm in 24 cm

b) 21 cm, 28 cm in 32 cm

c) 13 cm, 14 cm in 17 cm

d) 12 cm, 16 cm in 20 cm

Zato mere 12 cm, 16 cm in 20 cm ustrezajo stranicam pravokotnega trikotnika, saj je kvadrat hipotenuze, najdaljše stranice, enak vsoti kvadrata krakov.

4. vprašanje

Upoštevajte naslednje geometrijske figure, ki imajo eno stran v hipotenuzi pravokotnega trikotnika, ki meri 3 m, 4 m in 5 m.

Poiščite višino (h) enakostraničnega trikotnika BCD in diagonalno vrednost (d) kvadrata BCFG.

a) h = 4,33 m in d = 7,07 m
b) h = 4,72 m in d = 8,20 m
c) h = 4,45 m in d = 7,61 m
d) h = 4,99 m in d = 8,53 m

Glejte Odgovor

Pravilen odgovor: a) h = 4,33 m in d = 7,07 m.

Ker je trikotnik enakostraničen, pomeni, da imajo njegove tri stranice enako mero. Z risanjem črte, ki ustreza višini trikotnika, jo razdelimo na dva pravokotna trikotnika.

Enako velja za kvadrat. Ko narišemo njegovo diagonalno črto, lahko vidimo dva pravokotna trikotnika.

Z uporabo podatkov iz trditve v Pitagorinem izreku odkrijemo naslednje vrednosti:

1. Izračun višine trikotnika (pravokotni trikotnik):

Nato pridemo do formule za izračun višine. Zdaj samo nadomestite vrednost L in jo izračunajte.

2. Izračun diagonale kvadrata (hipotenuza pravokotnega trikotnika):

Zato je višina enakostraničnega trikotnika BCD 4,33, diagonalna vrednost kvadrata BCFG pa 7,07.

Glej tudi: Pitagorov izrek

Rešene težave s sprejemnim izpitom

5. vprašanje

(Cefet / MG - 2016) Zmaj, katerega slika je prikazana spodaj, je bil zgrajen v štirikotniku ABCD, saj je bil in . palico zmaja seka palico na sredini E, ki tvori pravi kot. Pri izdelavi tega zmaja so bili upoštevani ukrepi uporabljeni sta 25 cm in 20 cm, meritev pa enako ukrepa .

V teh pogojih se meri , v cm, je enako

a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: c) 55.

Ob opazovanju številke vprašanja vidimo, da je segment DE, ki ga želimo najti, enak segmentu BD z odštevanjem segmenta BE.

Torej, ker vemo, da je segment BE enak 20 cm, moramo poiskati vrednost segmenta BD.

Upoštevajte, da nam težava ponuja naslednje informacije:

Da bi našli mero BD, moramo vedeti vrednost segmenta AC.

Ker točka E deli odsek na dva enaka dela (sredina), potem . Zato je prvi korak najti mero segmenta CE.

Da bi našli meritev CE, smo ugotovili, da je trikotnik BCE pravokotnik, da je BC hipotenuza in BE in CE kraka, kot je prikazano na spodnji sliki:

Nato bomo uporabili Pitagorin izrek, da bomo našli mero noge.

25² = 20²+ x²
625 = 400 + x²
x² = 625 - 400
x² = 225
x = 25225
x = 15 cm

Da bi našli ovratnik, bi lahko tudi opazili, da je trikotnik pitagorejski, to pomeni, da so mere njegovih stranic večkratne mere trikotnika 3, 4, 5.

Torej, ko pomnožimo 4 s 5, imamo vrednost ovratnice (20) in če pomnožimo 5 s 5, imamo hipotenuzo (25). Zato bi lahko bila druga noga le 15 (5. 3).

Zdaj, ko smo našli vrednost ES, lahko najdemo še druge ukrepe:

AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm

Zato je mera je enako 55 cm.

Glej tudi: Pitagora

6. vprašanje

(MSRP - 2017) Razmislite o enakostraničnem trikotniku s stranico 5√3 ܿ݉. Kolikšna je višina oziroma površina tega trikotnika?

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: e) 7,5 cm in 75√3 / 4 cm²

Najprej narišimo enakostranični trikotnik in narišimo višino, kot je prikazano na spodnji sliki:

Upoštevajte, da višina deli osnovo na dva segmenta iste mere, saj je trikotnik enakostraničen. Upoštevajte tudi, da je trikotnik ACD na sliki pravokoten trikotnik.

Tako bomo za iskanje višinske mere uporabili pitagorejski izrek:

Če poznamo merjenje višine, lahko območje najdemo po formuli:

7. vprašanje

(MSRP - 2016) Na spodnji sliki je vrednost x in y

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: a) 4√2 in √97.

Če želimo najti vrednost x, uporabimo Pitagorin izrek na pravokotni trikotnik, katerega stranice so enake 4 cm.

x² = 4² + 4²
x² = 16 + 16
x = 32
x = 4√2 cm

Za iskanje vrednosti y bomo uporabili tudi Pitagorin izrek, zdaj pa upoštevamo, da ena noga meri 4 cm, druga pa 9 cm (4 + 5 = 9).

y² = 4² + 9²
y² = 16 + 81
y = ~ 97 cm

Zato je vrednost x oziroma y 4√2 oziroma √97.

vprašanje 8

(Apprentice Sailor - 2017) Oglejte si spodnjo sliko.

Na zgornji sliki je enakokrak trikotnik ACD, v katerem odsek AB meri 3 cm, neenakomerna stran AD meri 10√2 cm, odseka AC in CD pa sta pravokotna. Zato je pravilno trditi, da segment BD meri:

a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) 161 cm

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: d) √149 cm

Glede na informacije, predstavljene v težavi, sestavimo spodnjo sliko:

Glede na sliko ugotovimo, da je za iskanje vrednosti x treba najti mero stranice, ki jo imenujemo a.

Ker je trikotnik ACD pravokotnik, bomo uporabili Pitagorin izrek za iskanje vrednosti kraka a.

Zdaj, ko poznamo vrednost a, lahko vrednost x najdemo z upoštevanjem pravokotnega trikotnika BCD.

Upoštevajte, da je noga BC enaka meritvi noge minus 3 cm, to je 10 - 3 = 7 cm. Z uporabo Pitagorinega izreka za ta trikotnik imamo:

Zato je pravilno trditi, da meri BD segment 9149 cm.

9. vprašanje

(IFRJ - 2013) Športno dvorišče zveznega inštituta Arrozal Campus je pravokotno, dolgo 100 m in široko 50 m, na tej sliki pa je pravokotnik ABCD.

Alberto in Bruno sta dva študenta, ki se na dvorišču ukvarjata s športom. Alberto se sprehaja od točke A do točke C po diagonali pravokotnika in se po isti poti vrne na izhodišče. Bruno začne s točke B, popolnoma obide dvorišče, hodi po stranskih črtah in se vrne na izhodišče. Tako je glede na √5 = 2,24 navedeno, da je Bruno hodil več kot Alberto

a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: c) 76 m.

Diagonala pravokotnika ga deli na dva pravokotna trikotnika, hipotenuza je diagonala, stranice pa enake stranicam pravokotnika.

Torej, za izračun diagonalne mere uporabimo pitagorejski izrek:

Medtem ko je Alberto šel in se vrnil, je tako prehodil 224 m.

Bruno je prehodil razdaljo, ki je enaka obodu pravokotnika, z drugimi besedami:

p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m

Zato je Bruno hodil 76 m dlje od Alberta (300 - 112 = 76 m).

10. vprašanje

(Enem - 2017) Za okrasitev otroške mize za zabave bo kuhar uporabil sferično melono s premerom 10 cm, ki bo služila kot podpora za nabiranje različnih sladkarij. Iz melone bo odstranil sferično pokrovček, kot je prikazano na sliki, in, da se zagotovi stabilnost te opore, zaradi česar se bo melona težko valjala po mizi, bo šef odrezal tako, da bo polmer r krožno odrezanega odseka poraščen. minus 3 cm. Po drugi strani pa bo kuhar želel imeti čim večje območje v regiji, kjer bodo popravili sladkarije.

Da bi dosegel vse svoje cilje, mora šef izrezati melonino kapico na višini h v centimetrih, ki je enaka

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: c) 1

Ob opazovanju slike, predstavljene v vprašanju, smo ugotovili, da je višino h mogoče najti tako, da se mera segmenta OA zmanjša z mere polmera krogle (R).

Polmer krogle (R) je enak polovici njenega premera, kar je v tem primeru enako 5 cm (10: 2 = 5).

Torej moramo najti vrednost segmenta OA. Za to bomo upoštevali trikotnik OAB, predstavljen na spodnji sliki, in uporabili pitagorejski izrek.

5² = 3² + x²
x² = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm

Vrednost x lahko najdemo tudi neposredno, pri čemer ugotavljamo, da gre za pitagorejski trikotnik 3,4 in 5.

Torej bo vrednost h enaka:

h = R - x
h = 5 - 4
v = 1 cm

Zato bi moral kuhar melonino kapico odrezati na višini 1 cm.

vprašanje 11

(Enem - 2016 - 2. aplikacija) Boccia je šport, ki se igra na igriščih, ki so ravni in ravni tereni, omejeni z obrobnimi lesenimi ploščadmi. Cilj tega športa je metati krogle, ki so kroglice iz sintetičnega materiala namestite jih čim bližje bolimu, ki je prej manjša kroglica, po možnosti iz jekla začela. Slika 1 prikazuje balinarsko žogo in bolim, ki so se igrali na igrišču. Recimo, da je igralec vrgel žogo s polmerom 5 cm, ki je bila naslonjena na bollin s polmerom 2 cm, kot je prikazano na sliki 2.

Točko C upoštevajte kot središče žoge, točko O pa kot središče žoge. Znano je, da sta A in B točki, na katerih se balinarska žoga oziroma bolin dotikata tal igrišča in da je razdalja med A in B enaka d. Kakšno je razmerje med d in polmerom bolima v teh pogojih?

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: e) √10

Za izračun vrednosti razdalje d med točkama A in B zgradimo sliko, ki povezuje središči obeh krogel, kot je prikazano spodaj:

Upoštevajte, da je slika z modro piko v obliki trapeza. Delimo ta trapez, kot je prikazano spodaj:

Z razdelitvijo trapeza dobimo pravokotnik in pravokotni trikotnik. Hipotenuza trikotnika je enaka vsoti polmera balinarske krogle s polmerom bolima, to je 5 + 2 = 7 cm.

Meritev ene noge je enaka d, meritev druge noge pa je enaka meritvi segmenta CA, ki je polmer balinarske žoge, minus polmer bolima (5 - 2 = 3) .

Na ta način lahko najdemo mero d z uporabo pitagorejskega izreka za ta trikotnik, to je:

7² = 3² - od²
d² = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10

Zato bo razmerje med razdaljo d in bolim podano z:.

vprašanje 12

(Enem - 2014) Dnevno prebivališče porabi 20 160 Wh. Ta rezidenca ima 100 sončnih celic pravokotne (naprave, ki lahko pretvorijo sončno svetlobo v električno energijo) velikosti 6 cm x 8 cm Vsaka od teh celic čez dan proizvede 24 Wh na centimeter diagonale. Lastnik te hiše želi dnevno proizvesti popolnoma enako količino energije, ki jo porabi njegova hiša. Kaj naj ta lastnik stori zanj, da doseže svoj cilj?

a) Odstranite 16 celic.
b) Odstranite 40 celic.
c) Dodajte 5 celic.
d) Dodajte 20 celic.
e) Dodajte 40 celic.

Glejte Odgovor

Pravilna alternativa: a) Odstranite 16 celic.

Najprej boste morali ugotoviti, kakšna je izhodna energija posamezne celice. Za to moramo najti mero diagonale pravokotnika.

Diagonala je enaka hipotenuzi trikotnika s krakoma, ki je enak 8 cm in 6 cm. Nato bomo izračunali diagonalo z uporabo pitagorejskega izreka.

Vendar ugotavljamo, da je zadevni trikotnik pitagorejski, saj je večkratnik trikotnika 3,4 in 5.

Na ta način bo meritev hipotenuze enaka 10 cm, saj se stranice pitagorejskega trikotnika 3,4 in 5 pomnožijo z 2.

Zdaj, ko poznamo diagonalno meritev, lahko izračunamo energijo, ki jo proizvede 100 celic, to je:

E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh

Ker je porabljena energija enaka 20 160 Wh, bomo morali zmanjšati število celic. Za iskanje te številke bomo naredili:

24 000 - 20 160 = 3 840 Wh

Če to vrednost delimo z energijo, ki jo proizvaja celica, najdemo število, ki bi ga bilo treba zmanjšati, to je:

3 840: 240 = 16 celic

Zato bi moral lastnikov ukrep, da bi dosegel svoj cilj, odstraniti 16 celic.

Če želite izvedeti več, glejte tudi: Trigonometrijske vaje