Ravno območje figure predstavlja obseg podaljšanja figure v ravnini. Kot ravne figure lahko med drugim omenimo trikotnik, pravokotnik, romb, trapez, krog.
S spodnjimi vprašanji preverite svoje znanje tega pomembnega predmeta geometrije.
Rešena vprašanja natečaja
Vprašanje 1
(Cefet / MG - 2016) Kvadratna površina mesta mora biti razdeljena na štiri enake dele, tudi kvadratne, in, v enem od njih je treba ohraniti domači gozdni rezervat (izvališče), kot je prikazano na sliki a sledite.
Vedeti, da je B srednja točka segmenta AE in C srednja točka segmenta EF, šrafirana površina, v m2, daj mi
a) 625,0.
b) 925,5.
c) 1562,5.
d) 2500,0.
Pravilna alternativa: c) 1562.5.
Ko opazujemo sliko, opazimo, da šrafirana površina ustreza površini kvadrata s stranico 50 m minus površino trikotnikov BEC in CFD.
Meritev stranice BE, trikotnika BEC, je enaka 25 m, saj točka B stran deli na dva skladna segmenta (srednja točka segmenta).
Enako se zgodi s stranicama EC in CF, to pomeni, da so tudi njihove meritve enake 25 m, saj je točka C srednja točka segmenta EF.
Tako lahko izračunamo površino trikotnikov BEC in CFD. Če upoštevamo dve strani, imenovani osnovo, bo druga stran enaka višini, saj so trikotniki pravokotniki.
Pri izračunu površine kvadrata in trikotnikov BEC in CFD imamo:
Zato se šrafirano območje, v m2, meri 1562,5.
2. vprašanje
(Cefet / RJ - 2017) Kvadrat s stranico x in enakostranični trikotnik s stranico y imata območja enake mere. Tako lahko rečemo, da je razmerje x / y enako:
Pravilna alternativa: .
Informacije v težavi so, da so območja enaka, to je:
Območje trikotnika najdemo tako, da osnovno meritev pomnožimo z meritvijo višine in rezultat delimo z 2. Ker je trikotnik enakostraničen in je stran enaka y, je njegova višinska vrednost podana z:
Zato lahko rečemo, da je razmerje x / y enako .
3. vprašanje
(IFSP - 2016) Javni kvadrat v obliki kroga ima polmer 18 metrov. Glede na zgoraj navedeno označite alternativo, ki predstavlja vaše območje.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Pravilna alternativa: a) 1 017, 36 m2.
Za iskanje površine kvadrata moramo uporabiti formulo za površino kroga:
A = π.R2
Z nadomestitvijo vrednosti polmera in upoštevanjem π = 3,14 najdemo:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Zato je kvadratna površina 1 017, 36 m2.
4. vprašanje
(MSRP - 2016) Pravokotnik ima dimenzije x in y, ki so izražene z enačbami x2 = 12 in (y - 1)2 = 3.
Obseg in površina tega pravokotnika sta
a) 6√3 + 2 in 2 + 6√3
b) 6√3 in 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 in 12
d) 6 in 2√3
e) 6√3 + 2 in 2√3 + 6
Pravilna alternativa: e) 6√3 + 2 in 2√3 + 6.
Najprej rešimo enačbe, da poiščemo vrednosti x in y:
x2= 12 ⇒ x = √12 = √4,3 = 2√3
(y - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Obod pravokotnika bo enak vsoti vseh strani:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Če želite poiskati območje, samo pomnožite x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Zato sta obseg in površina pravokotnika 6√3 + 2 oziroma 2√3 + 6.
5. vprašanje
(Apprentice Sailor - 2016) Analizirajte naslednjo sliko:
Če veste, da je EP polmer sredinskega polkroga v E, kot je prikazano na zgornji sliki, določite vrednost najtemnejše površine in preverite pravilno možnost. Podatki: število π = 3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Pravilna alternativa: b) 12 cm2.
Najtemnejše območje najdemo tako, da površino trikotnika ABD dodamo površino polkroga. Začnimo z izračunom površine trikotnika, zato upoštevajte, da je trikotnik pravokotnik.
Pokličimo AD stran x in izračunajmo njeno mero s pomočjo pitagorejskega izreka, kot je navedeno spodaj:
52= x2 + 32
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Ob poznavanju stranske mere AD lahko izračunamo površino trikotnika:
Še vedno moramo izračunati površino polkroga. Upoštevajte, da bo njegov polmer enak polovici meritve na strani AD, tako da je r = 2 cm. Območje polkroga bo enako:
Najtemnejše območje bomo našli tako: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Zato je vrednost najtemnejše površine 12 cm2.
6. vprašanje
(Enem - 2016) Moški, oče dveh otrok, želi kupiti dve zemljišči z enakimi površinami, po eno za vsakega otroka. Eno od obiskanih zemljišč je že razmejeno in, čeprav nima običajne oblike (kot je prikazano na sliki B), je zadovoljilo najstarejšega sina in je bilo zato kupljeno. Najmlajši sin ima arhitekturni projekt za hišo, ki jo želi zgraditi, a za to potrebuje terena v pravokotni obliki (kot je prikazano na sliki A), katerega dolžina je 7 m daljša od premer.
Da bi zadovoljil najmlajšega sina, mora ta gospod najti pravokoten kos zemlje, katerega mere v metrih, dolžini in širini so enake
a) 7,5 in 14,5
b) 9,0 in 16,0
c) 9.3 in 16.3
d) 10,0 in 17,0
e) 13,5 in 20,5
Pravilna alternativa: b) 9.0 in 16.0.
Ker je površina slike A enaka površini slike B, najprej izračunajmo to površino. Za to delimo sliko B, kot je prikazano spodaj:
Upoštevajte, da imamo pri deljenju slike dva pravokotna trikotnika. Zato bo površina slike B enaka vsoti površin teh trikotnikov. Pri izračunu teh površin imamo:
Ker je slika A pravokotnik, njeno površino najdemo tako:
THETHE = x. (x + 7) = x2 + 7x
Če enačimo površino slike A z ugotovljeno vrednostjo za površino slike B, najdemo:
x2 + 7x = 144
x2 + 7x - 144 = 0
Rešimo enačbo 2. stopnje z Bhaskarovo formulo:
Ker mera ne more biti negativna, upoštevajmo le vrednost, ki je enaka 9. Zato bo širina zemljišča na sliki A enaka 9 m, dolžina pa 16 m (9 + 7).
Zato morajo biti meritve dolžine in širine enake 9,0 oziroma 16,0.
7. vprašanje
(Enem - 2015) Podjetje za mobilne telefone ima dve anteni, ki ju bo zamenjala nova, zmogljivejša. Območja pokritosti anten, ki jih bomo zamenjali, so krogi s polmerom 2 km, katerih obsegi se dotikajo točke O, kot je prikazano na sliki.
Točka O označuje položaj nove antene, območje njene pokritosti pa bo krog, katerega obseg bo navzven tangiral obsege manjših območij pokritosti. Z namestitvijo nove antene se je merjenje pokritosti v kvadratnih kilometrih razširilo za
a) 8 π
b) 12 π
c) 16 π
d) 32 π
e) 64 π
Pravilna alternativa: a) 8 π.
Povečanje meritve območja pokritosti bomo našli tako, da zmanjšamo površine manjših krogov večjega kroga (glede na novo anteno).
Ker se obseg novega območja pokritosti navzven dotika manjših obodov, bo njegov polmer enak 4 km, kot je prikazano na spodnji sliki:
Izračunajmo površine A1 in2 manjših krogov in območje A3 iz večjega kroga:
THE1 = A2 = 22. π = 4 π
THE3 = 42.π = 16 π
Meritev povečane površine bomo našli tako:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Zato se je z vgradnjo nove antene ukrep pokritosti v kvadratnih kilometrih povečal za 8 π.
vprašanje 8
(Enem - 2015) Diagram I prikazuje konfiguracijo košarkarskega igrišča. Sivi trapezoidi, imenovani karboji, ustrezajo omejenim območjem.
Cilj izpolnjevanja smernic Centralnega komiteja Mednarodne košarkarske zveze (Fiba) leta 2010, ki je poenotil oznake različnih zlitin je bila predvidena sprememba v ogljikovih stezah, ki bi postale pravokotniki, kot je prikazano v shemi II.
Po izvedbi načrtovanih sprememb se je spremenila površina, ki jo zaseda vsak ogljik, kar ustreza a (a)
a) povečanje za 5800 cm2.
b) 75 400 cm povečanja2.
c) povečanje za 214 600 cm2.
d) zmanjšanje za 63 800 cm2.
e) zmanjšanje za 272 600 cm2.
Pravilna alternativa: a) povečanje za 5800 cm².
Da ugotovimo, kakšna je bila sprememba na zasedenem območju, izračunajmo površino pred spremembo in po njej.
Pri izračunu sheme I bomo uporabili formulo za območje trapeza. V diagramu II bomo uporabili formulo za površino pravokotnika.
Takrat bo spremenjena površina:
A = AII - Ajaz
A = 284 200 - 278 400 = 5800 cm2
Zato je po izvedbi načrtovanih sprememb prišlo do spremembe na površini, ki jo zaseda vsak ogljik, kar ustreza povečanju za 5800 cm².
Predlagane vaje (z ločljivostjo)
9. vprašanje
Ana se je odločila, da bo v svoji hiši zgradila pravokotni bazen v velikosti 8 m in 5 m visoko. Naokrog je bil v obliki trapeza napolnjen s travo.
Kolikšna je površina dela, ki je bil zasut s travo, če vemo, da je višina trapeza 11 m, njegovi podstavki pa 20 m in 14 m?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Pravilna alternativa: c) 147 m2.
Ko je pravokotnik, ki predstavlja bazen, vstavljen znotraj večje figure, trapeza, začnimo z izračunom površine zunanje figure.
Območje trapeza se izračuna po formuli:
Kje,
B je mera največje osnove;
b je mera najmanjše osnove;
h je višina.
Če v formulo nadomestimo podatke iz stavka, imamo:
Zdaj pa izračunajmo površino pravokotnika. Za to moramo samo pomnožiti osnovo z višino.
Da bi našli območje, pokrito s travo, moramo od površine trapeza odšteti prostor, ki ga zaseda bazen.
Zato je bila površina, napolnjena s travo, 147 m2.
Glej tudi: Območje trapeza
10. vprašanje
Za obnovo strehe svojega skladišča se je Carlos odločil za nakup kolonialnih ploščic. Pri tej vrsti strehe je potrebno 20 kosov na vsak kvadratni meter strehe.
Če streho kraja tvorita dve pravokotni plošči, kot na zgornji sliki, koliko ploščic mora Carlos kupiti?
a) 12000 ploščic
b) 16000 ploščic
c) 18000 ploščic
d) 9600 ploščic
Pravilna alternativa: b) 16000 ploščic.
Streha skladišča je narejena iz dveh pravokotnih plošč. Zato moramo izračunati površino pravokotnika in pomnožiti z 2.
Skupna površina strehe je torej 800 m.2. Če vsak kvadratni meter potrebuje 20 ploščic, z uporabo preprostega pravila treh izračunamo, koliko ploščic zapolni streho vsakega skladišča.
Zato bo treba kupiti 16 tisoč ploščic.
Glej tudi: Območje pravokotnika
vprašanje 11
Marcia bi rada, da dve enaki leseni vazi okrasita vhod v njeno hišo. Ker je lahko kupila le eno izmed svojih najljubših, se je odločila, da bo najela kabinetarja, da bo zgradil drugo vazo z enakimi dimenzijami. Vaza mora imeti štiri stranice v enakokraki trapezni obliki, osnova pa je kvadratna.
Koliko kvadratnih metrov lesa bo potrebno za reprodukcijo kosa, ne da bi upoštevali debelino lesa?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Pravilna alternativa: d) 0,3121 m2.
Enakokraki trapez je tip, ki ima enake stranice in različno velike podlage. Iz slike imamo naslednje meritve trapeza na vsaki strani posode:
Manjša osnova (b): 19 cm;
Večja osnova (B): 27 cm;
Višina (h): 30 cm.
Z vrednostmi v rokah izračunamo površino trapeza:
Ker posodo tvorijo štirje trapezi, moramo površino, ki jo najdemo, pomnožiti s štirimi.
Zdaj moramo izračunati osnovo vaze, ki jo tvori 19 cm kvadrat.
Če prištejemo izračunane površine, dobimo skupno površino lesa, ki jo bomo uporabili za gradnjo.
Vendar je treba površino predstaviti v kvadratnih metrih.
Zato je bilo brez upoštevanja debeline lesa potrebno 0,3121 m2 materiala za izdelavo vaze.
Glej tudi: Kvadratno območje
vprašanje 12
Za lažji izračun števila ljudi, ki sodelujejo na javnih prireditvah, na splošno velja, da en kvadratni meter zasedajo štiri osebe.
Za praznovanje obletnice mesta je mestna vlada najela zasedbo, ki je igrala na trgu v središču, ki ima 4000 m površine.2. Koliko veste, da je trg nabito poln, približno ljudi se je udeležilo dogodka?
a) 16 tisoč ljudi.
b) 32 tisoč ljudi.
c) 12 tisoč ljudi.
d) 40 tisoč ljudi.
Pravilna alternativa: a) 16 tisoč ljudi.
Kvadrat ima štiri enake stranice, njegova površina pa se izračuna po formuli: A = L x L.
če v 1 m2 zasedejo ga štirje ljudje, zato 4-krat večja od kvadratne površine poda oceno ljudi, ki so se udeležili dogodka.
Tako je na dogodku, ki ga je promovirala mestna hiša, sodelovalo 16 tisoč ljudi.
Če želite izvedeti več, glejte tudi:
- Območja z ravnimi figurami
- Geometrijske oblike
- Pitagorin izrek - vaje
