Ti številski nizi vključujejo naslednje sklope: Naturals (ℕ), Cela števila (ℤ), Utemeljitve (ℚ), Irrationals (I), Real (ℝ) in Complexes (ℂ).
Izkoristite komentirane vaje, da preverite svoje znanje o tej pomembni temi Matematika.
Vprašanje 1
Kateri spodnji predlog je resničen?
a) Vsako celo število je racionalno in vsako realno število je celo število.
b) Presečišče množice racionalnih števil z množico iracionalnih števil ima 1 element.
c) Število 1.83333... je racionalno število.
d) Delitev dveh celih števil je vedno celo število.
Pravilna alternativa: c) Število 1.83333... je racionalno število.
Oglejmo si vsako od trditev:
a) Napačno. Pravzaprav je vsako celo število racionalno, saj ga lahko zapišemo v obliki drobca. Število -7, ki je celo število, lahko na primer zapišemo kot ulomek kot -7/1. Vendar ni vsako realno število celo število, na primer 1/2 ni celo število.
b) Napačno. Skupina racionalnih števil nima nobene skupne številke z iracionalnimi, saj je realno število racionalno ali iracionalno. Zato je presečišče prazen niz.
c) Resnično. Število 1.83333... gre za periodično desetino, saj se številka 3 ponavlja neskončno. To število lahko zapišemo kot ulomek kot 11/6, torej je racionalno število.
d) Napačno. Na primer, 7, deljeno s 3, je enako 2,33333..., kar je periodično decimalno mesto, torej ni celo število.
2. vprašanje
Vrednost spodnjega izraza, ko je a = 6 in b = 9, je:
a) liho naravno število
b) število, ki spada v niz iracionalnih števil
c) ni realno število
d) celo število, katerega modul je večji od 2
Pravilna alternativa: d) celo število, katerega modul je večji od 2.
Najprej zamenjajmo črke z navedenimi vrednostmi in rešimo izraz:
Upoštevajte, da (-6)2 se razlikuje od - 62, prvo operacijo lahko izvedemo kot: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Brez oklepajev je na kvadrat le 6, tj. - 62 = - (6.6) = -36.
V nadaljevanju resolucije imamo:
Upoštevajte, da ker je indeks korena neparno število (kubični koren), je v množici realnih števil negativni številski koren. Če bi bil korenski indeks sodo število, bi bil rezultat kompleksno število.
Zdaj pa analiziramo vsako od predstavljenih možnosti:
Možnost The je napačno, ker je odgovor negativno število, ki ni del nabora naravnih števil.
Število - 3 ni neskončno neperiodično decimalno mesto, zato ni iracionalno, zato črka B tudi to ni prava rešitev.
Pismo ç je tudi napačno, saj je število - 3 število, ki pripada množici realnih števil.
Pravilna možnost je lahko samo črka d in dejansko je rezultat izraza celo število in modul -3 je 3, kar je večje od 2.
3. vprašanje
Katera alternativa v sklopih (A in B) v spodnji tabeli predstavlja razmerje vključenosti?
Pravilna alternativa: a)
Alternativa "a" je edina, pri kateri je en sklop vključen v drugega. Komplet A vključuje komplet B ali sklop B je vključen v A.
Katere trditve so torej pravilne?
I - A C B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I in II.
b) I in III.
c) I in IV.
d) II in III.
e) II in IV
Pravilna alternativa: d) II in III.
I - Napačno - A ni v B (A Ȼ B).
II - Pravilno - B je vsebovan v A (B C A).
III - Pravilno - A vsebuje B (B Ɔ A).
IV - Napačno - B ne vsebuje A (B ⊅ A).
4. vprašanje
Imamo niz A = {1, 2, 4, 8 in 16} in niz B = {2, 4, 6, 8 in 10}. Kje se nahajajo elementi 2, 4 in 8 glede na alternative?
Pravilna alternativa: c).
Elementi 2, 4 in 8 so skupni obema nizoma. Zato se nahajajo v podskupini A ∩ B (presečišče A z B).
5. vprašanje
Katera slika predstavlja A U (B ∩ C) glede na množice A, B in C?
Pravilna alternativa: d)
Edina alternativa, ki izpolnjuje začetni pogoj B ∩ C (zaradi oklepajev) in pozneje združitev z A.
6. vprašanje
Izvedena je bila raziskava, s katero so se seznanili z nakupnimi navadami potrošnikov v zvezi s tremi izdelki. Raziskava je pokazala naslednje rezultate:
- 40% kupi izdelek A.
- 25% kupi izdelek B.
- 33% kupi izdelek C.
- 20% kupuje izdelke A in B.
- 5% kupuje izdelke B in C.
- 19% kupuje izdelke A in C.
- 2% kupi vse tri izdelke.
Na podlagi teh rezultatov odgovorite:
a) Kolikšen odstotek vprašanih ne kupi nobenega od teh izdelkov?
b) Kolikšen odstotek vprašanih kupi izdelka A in B, izdelka C pa ne?
c) Kolikšen odstotek vprašanih kupi vsaj enega od izdelkov?
Odgovori:
a) 44% vprašanih ne uživa nobenega od treh izdelkov.
b) 18% ljudi, ki uživajo oba izdelka (A in B), ne uživa izdelka C.
c) 56% vprašanih zaužije vsaj enega od izdelkov.
Da bi rešili to težavo, naredimo diagram, ki bo bolje prikazal situacijo.
Vedno moramo začeti na presečišču treh sklopov. Nato bomo vključili vrednost presečišča dveh sklopov in na koncu še odstotek ljudi, ki kupijo samo eno blagovno znamko izdelka.
Opaziti je, da odstotek ljudi, ki zaužijejo dva izdelka, vključuje tudi odstotek ljudi, ki zaužijejo tri izdelke.
Zato v diagramu označujemo odstotek tistih, ki uživajo samo dva izdelka. Če želite to narediti, moramo odšteti odstotek tistih, ki zaužijejo tri izdelke, od tistih, ki zaužijejo dva.
Na primer, navedeni odstotek, ki porabi izdelek A in izdelek B, je 20%, vendar se ta vrednost upošteva pri 2% glede na to, kdo uživa tri izdelke.
Z odštevanjem teh vrednosti, tj. 20% - 2% = 18%, najdemo odstotek potrošnikov, ki kupujejo samo izdelke A in B.
Ob upoštevanju teh izračunov bo diagram opisane situacije prikazan na spodnji sliki:
Na podlagi tega diagrama lahko zdaj odgovorimo na predlagana vprašanja.
The) Odstotek tistih, ki ne kupijo nobenega izdelka, je enak celoti, torej 100%, le da zaužijejo kateri koli izdelek. Torej, narediti moramo naslednji izračun:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Kmalu, 44% vprašanih ne uživa nobenega od treh izdelkov.
B) Odstotek potrošnikov, ki kupujejo izdelka A in B in ne kupujejo izdelka C, najdemo tako, da odštejemo:
20 - 2 = 18%
Zato 18% ljudi, ki uživajo oba izdelka (A in B), ne uživa izdelka C.
ç) Če želite najti odstotek ljudi, ki zaužijejo vsaj enega od izdelkov, preprosto seštejte vse vrednosti v diagramu. Torej imamo:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
Tako 56% vprašanih zaužije vsaj enega od izdelkov.
7. vprašanje
(Enem / 2004) Proizvajalec kozmetike se odloči, da bo izdelal tri različne kataloge svojih izdelkov, namenjene različni publiki. Ker bodo nekateri izdelki prisotni v več katalogih in bodo zasedli celotno stran, se je odločil, da bo prešteval, da bi zmanjšal stroške tiskanih izvirnikov. Katalogi C1, C2 in C3 bodo imeli 50, 45 in 40 strani. Ob primerjavi modelov iz vsakega kataloga ugotovi, da bosta C1 in C2 imela 10 skupnih strani; C1 in C3 bosta imela skupno 6 strani; C2 in C3 bosta imela pet skupnih strani, od tega bodo 4 tudi na C1. Z ustreznimi izračuni je proizvajalec zaključil, da bo za sestavljanje treh katalogov potreboval skupno število tiskanih izvirnikov, ki so enake:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Pravilna alternativa: c) 118
To vprašanje lahko rešimo z izdelavo diagrama. Za začetek začnimo s stranmi, ki so skupne trem katalogom, torej s 4 stranmi.
Od tam bomo navedli vrednosti in odšteli že obračunane vrednosti. Tako bo diagram prikazan spodaj:
Vrednosti smo našli z naslednjimi izračuni:
- Križišče C1, C2 in C3: 4
- Presečišče C2, C3: 5 - 4 = 1
- Presečišče C1 in C3: 6 - 4 = 2
- Presečišče C1 in C2: 10 - 4 = 6
- Samo C1: 50 - 12 = 38
- Samo C2: 45 - 11 = 34
- Samo C3: 40 - 7 = 33
Če želite poiskati število strani, dodajte vse te vrednosti, tj.
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
vprašanje 8
(Enem / 2017) V tem modelu termometra fileji beležijo najnižjo in najvišjo temperaturo prejšnjega dne in sivi fileji zabeležijo trenutno temperaturo okolice, to je v času odčitavanja termometer.
Torej ima dva stolpca. Na levi so številke v naraščajočem vrstnem redu, od zgoraj navzdol, od -30 ° C do 50 ° C. V stolpcu na desni so številke razvrščene po naraščajočem vrstnem redu, od spodaj navzgor, od -30 ° C do 50 ° C.
Branje poteka na naslednji način:
- najnižjo temperaturo označuje spodnja raven črnega fileja v levem stolpcu.
- najvišjo temperaturo označuje spodnji nivo črnega fileja v desnem stolpcu.
- trenutna temperatura je označena z najvišjo stopnjo v sivih filejih v dveh stolpcih.
Katera je najbližja najvišja temperatura, zabeležena na tem termometru?
a) 5 ° C
b) 7 ° C
c) 13 ° C
d) 15 ° C
e) 19 ° C
Pravilna alternativa: e) 19 ° C
Če želite težavo odpraviti, samo preberite lestvico v desnem stolpcu črnega fileja, ki predstavlja rekord najvišje temperature.
9. vprašanje
(Enem / 2017) Rezultat volilne raziskave o preferencah volivcev glede na dva kandidata je bil predstavljen s pomočjo grafa 1.
Ko je bil ta rezultat objavljen v časopisu, je bil graf 1 med postavitvijo izrezan, kot je prikazano na grafu 2.
Čeprav so predstavljene vrednosti pravilne in je širina stolpcev enaka, mnogi bralci kritiziral obliko grafa 2, natisnjeno v časopisu, in trdil, da je kandidat kandidata poškodoval B. Razlika med višinskima razmerjema stolpca B in stolpca A na grafih 1 in 2 je:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Pravilna alternativa: e) 8/35
Za rešitev težave moramo najprej poiskati razmerje med višino stolpca B in stolpcem A v dveh grafih. Ta razmerja najdemo tako, da preštejemo, koliko delitev je v vsakem stolpcu.
Upoštevajte, da je v grafu 1 stolpec A razdeljen na 7 enakih "kosov", medtem ko je stolpec B na 3. V grafu 2 je stolpec A razdeljen na 5 enakih "kosov", stolpec B pa na samo 1.
Zato lahko ulomke, ki predstavljajo razmerja med višino stolpca B in stolpca A, označimo z
Zdaj samo rešite odštevanje med tema dvema ulomkoma, tako da imamo:
10. vprašanje
(Enem / 2018) Za izdelavo logotipa ga želi strokovnjak na področju grafičnega oblikovanja izdelati z naborom ravninskih točk v obliki trikotnika, natančno tako, kot je prikazano na sliki.
Za izdelavo takšne slike s pomočjo grafičnega orodja bo treba algebraično napisati niz, ki predstavlja točke te grafike.
Ta niz podajajo urejeni pari (x; y) ℕ x ℕ, tako da
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Pravilna alternativa: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Upoštevajte, da številka, izražena v vprašanju, na osi y in x, vsebuje naravna števila (ℕ x ℕ) med 0 in 10. Moramo: 0 ≤ y ≤ 10 in 0 ≤ x ≤ 10.
Tako: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) in x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Vendar je upodobljena slika trikotnik. Za izpolnitev tega pogoja v urejenih parih y ne sme biti večji od x.
Upoštevajte, da so vrednosti y omejene z enakostjo z vrednostmi x, ki tvorijo hipotenuzo tega pravokotnega trikotnika: (0,0), (1; 1), (2; 2), (3; 3 ), (4; 4), (5; 5)... (10; 10).
Tako moramo: y ≤ x.
Kmalu, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Če želite izvedeti več, preberite tudi:
- Numerični nizi
- realna števila
- Cela števila
- Racionalne številke
- iracionalna števila
- Naravna števila
- Kompleksna števila
- Vaje na sklopih
- Vaje na kompleksnih številkah
