Polinomi so algebrski izrazi, ki jih tvorijo številke (koeficienti) in črke (dobesedni deli). Črke polinoma predstavljajo neznane vrednosti izraza.
Primeri
a) 3ab + 5
b) x3 + 4xy - 2x2y3
c) 25-krat2 - 9 let2
Monomij, binom in trinom
Polinome sestavljajo izrazi. Edina operacija med elementi izraza je množenje.
Kadar ima polinom le en člen, se imenuje a monomalni.
Primeri
a) 3x
b) 5bc
c) x2y3z4
klici binomi so polinomi, ki imajo samo dva monoma (dva člana), ločena z operacijo seštevanja ali odštevanja.
Primeri
a) do2 - B2
b) 3x + y
c) 5ab + 3cd2
že trinomi so polinomi, ki imajo tri monome (tri člane), ločene s postopki seštevanja ali odštevanja.
Primers
a) x2 + 3x + 7
b) 3ab - 4xy - 10y
c) m3n + m2 + n4
Stopnja polinoma
Stopnjo polinoma podajo eksponenti dobesednega dela.
Da bi našli stopnjo polinoma, moramo dodati eksponente črk, ki sestavljajo posamezen člen. Največja vsota bo stopnja polinoma.
Primeri
a) 2x3 + y
Eksponent prvega izraza je 3, drugega pa 1. Ker je največji 3, je stopnja polinoma 3.
b) 4x2y + 8x3y3 - xy4
Dodajmo eksponente vsakega izraza:
4x2y => 2 + 1 = 3
8x3y3 => 3 + 3 = 6
xy4 => 1 + 4 = 5
Ker je največja vsota 6, je stopnja polinoma 6
Opomba: ničelni polinom je tisti, ki ima vse koeficiente enake nič. Ko se to zgodi, stopnja polinoma ni definirana.
Operacije s polinomi
Spodaj si oglejte primere operacij med polinomi:
Dodajanje polinoma
To operacijo izvedemo z dodajanjem koeficientov podobnih izrazov (isti dobesedni del).
(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)
- 7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y
- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y
Polinomsko odštevanje
Znak minus pred oklepaji obrne znake znotraj oklepajev. Po odstranitvi oklepajev moramo dodati podobne izraze.
(4x2 - 5xk + 6k) - (3x - 8k)
4x2 - 5xk + 6k - 3xk + 8k
4x2 - 8xk + 14k
Množenje polinomov
Pri množenju moramo pomnožiti izraz z izrazom. Pri množenju enakih črk se eksponenti ponovijo in dodajo.
(3x2 - 5x + 8). (-2x + 1)
-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8
-6x3 + 13x2 - 21x +8
Delitev polinoma
Opomba: Pri polinomski delitvi uporabljamo ključno metodo. Najprej izvedemo delitev med številskimi koeficienti in nato delitev moči iste osnove. Če želite to narediti, obdržite osnovo in odštejte eksponente.
Polinomski faktoring
Za izvedbo faktorizacija polinoma imamo naslednje primere:
Skupni dejavnik dokazov
ax + bx = x (a + b)
Primer
4x + 20 = 4 (x + 5)
razvrščanje v skupine
ax + bx + ay + by = x. (a + b) + y. (a + b) = (x + y). (a + b)
Primer
8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b). (x + y)
Perfect Square Trinom (seštevek)
The2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Primer
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Perfect Square Trinom (razlika)
The2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Primer
x2 - 2x + 1 = (x - 1)2
Razlika dveh kvadratov
(a + b). (a - b) = a2 - B2
Primer
x2 - 25 = (x + 5). (x - 5)
Popolna kocka (dodatek)
The3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Primer
x3 + 6x2 + 12x + 8 = x3 + 3. x2. 2 + 3. x. 22 + 23 = (x + 2)3
Popolna kocka (razlika)
The3 - tretji2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
Primer
y3 - 9 let2 + 27y - 27 = y3 - 3. y2. 3 + 3. y 32 - 33 = (y - 3)3
Preberite tudi:
- Pomembni izdelki
- Pomembni izdelki - vaje
- Polinomska funkcija
Rešene vaje
1) Naslednje polinome razvrstite v monomi, binome in trinome:
a) 3abcd2
b) 3a + bc - d2
c) 3ab - cd2
a) monomij
b) trinom
c) binomski
2) Navedite stopnjo polinoma:
a) xy3 + 8xy + x2y
b) 2x4 + 3
c) ab + 2b + a
d) zk7 - 10z2k3w6 + 2x
a) ocena 4
b) ocena 4
c) 2. stopnja
d) ocena 11
3) Kakšna je obsežna vrednost spodnje slike:
Obod slike najdemo z dodajanjem vseh strani.
2x3 + 4 + 2x3 + 4 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 + x3 + 1 = 8x3 + 12
4) Poiščite območje slike:
Območje pravokotnika najdemo tako, da osnovo pomnožimo z višino.
(2x + 3). (x + 1) = 2x2 + 5x + 3
5) Faktor na polinome
a) 8ab + 2a2b - 4b2
b) 25 + 10y + y2
c) 9 - k2
a) Ker obstajajo skupni dejavniki, izločite tako, da navedete te dejavnike kot dokaz: 2ab (4 + a - 2b)
b) Popoln kvadratni trinom: (5 + y)2
c) Dva kvadratna razlika: (3 + k). (3 - k)
Glej tudi: Algebrski izrazi in Vaje iz algebrskih izrazov
