Vaje s kompleksnim številom: seznam rešenih vprašanj in povratne informacije

protection click fraud

Ti kompleksna števila omogočajo reševanje matematičnih problemov, ki v naboru nimajo rešitev realna števila.

V kompleksni številki, zapisani kot $\ dpi {120} z = a + bi$ , to pravimo $\ dpi {120} do$ je resnični del, $\ dpi {120} b$ je namišljeni del in $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ je namišljena enota.

Izvesti operacije s kompleksnimi števili, obstaja nekaj izrazov, ki olajšajo izračune. Razmislite $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ in $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Seštevalni izraz med kompleksnimi števili:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Izraz odštevanja med kompleksnimi števili:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Izraz množenja med kompleksnimi števili:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Izraz delitve med kompleksnimi števili:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }jaz$

Spodaj je seznam vprašanja, rešena z vajami na kompleksnih številkah. Naučite se uporabljati vsak koncept, ki vključuje te številke!

Kazalo

Seznam vaj na kompleksnih številkah
Rešitev vprašanja 1
Rešitev vprašanja 2
Rešitev vprašanja 3
Rešitev vprašanja 4
Rešitev vprašanja 5
Rešitev vprašanja 6
Rešitev vprašanja 7
Rešitev vprašanja 8

Seznam vaj na kompleksnih številkah

Vprašanje 1. Upoštevajoč kompleksna števila $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ in $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ določite vrednost $\ dpi {120} A$ , Kdaj $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

2. vprašanje Poiščite vrednosti $\ dpi {120} x$ in $\ dpi {120} let$ tako, da $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Vprašanje 3 Upoštevajoč kompleksna števila $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ in $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , določite vrednost $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kdaj $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ in $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

instagram story viewer

Vprašanje 4 Izračunajte vrednost $\ dpi {120} str$ in $\ dpi {120} q$ za kaj $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kdaj $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ in $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

5. vprašanje. Določite vrednost $\ dpi {120} do$ za kaj $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ biti čisto namišljeno število.

6. vprašanje. Izračunajte naslednje namišljene enote moči $\ dpi {120} i$ :

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

7. vprašanje. Poiščite rešitev enačbe $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ v množici kompleksnih števil.

Vprašanje 8. Določite rešitev enačbe $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ v množici kompleksnih števil.

Rešitev vprašanja 1

Imamo $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ in $\ dpi {120} z_2 = 2 - 5i$ in $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ in želimo določiti vrednost $\ dpi {120} A$ , Kdaj $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Najprej izračunajmo $\ dpi {120} 4z_3$ in $\ dpi {120} 3z_1$ , ločeno:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

Zdaj pa izračunajmo $\ dpi {120} A$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Rešitev vprašanja 2

Najti želimo x in y, tako da $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Z izražanjem vsote med dvema kompleksnima številkama moramo:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Torej moramo imeti $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ in $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . Rešimo ti dve enačbi, da najdemo x in y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Rešitev vprašanja 3

Imamo $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ in $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ in želimo določiti vrednost $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Kdaj $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ in $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Najprej izračunamo $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Z izrazom množenja med dvema zapletenima številoma moramo:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

Zdaj pa izračunajmo $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Zato $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Rešitev vprašanja 4

Izračunati želimo vrednost $\ dpi {120} str$ in $\ dpi {120} q$ za kaj $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Kdaj $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ in $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Pomeni najti $\ dpi {120} str$ in $\ dpi {120} q$ tako da:

Oglejte si nekaj brezplačnih tečajev

Brezplačni spletni tečaj inkluzivnega izobraževanja
Brezplačna spletna knjižnica igrač in tečaj
Brezplačni spletni tečaj matematičnih iger v predšolskem izobraževanju
Brezplačni tečaj pedagoških kulturnih delavnic na spletu

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Z izrazom delitve med dvema kompleksnima številima moramo:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Če združimo oba pogoja, moramo imeti:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Tj.

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

Rešimo vsako od teh enačb, začenši z drugo, ki je odvisna samo od str.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Zdaj najdemo q po drugi enačbi:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Rešitev vprašanja 5

Želimo najti vrednost $\ dpi {120} do$ za kaj $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ biti čisto namišljeno število.

Čisto namišljeno število je tisto, katerega realni del je enak nič.

Glede na izraz delitve med dvema zapletenima številkama imamo:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

Da je to število čisto namišljeno, moramo imeti:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow a = -2$

Rešitev vprašanja 6

Z definiranjem moči in kompleksnih števil moramo:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Opazujte vzorec, ki se ponavlja vsake štiri zaporedne moči: 1, i, -1 in -i.

Če želite torej najti rezultat pri kateri koli moči i, samo delite eksponent s 4. Preostanek delitve bo 0, 1, 2 ali 3 in ta vrednost bo eksponent, ki bi ga morali uporabiti.

The) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4, ostalo pa 0.

Potem, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .