THE Značilna je enačba 2. stopnje za enega polinom stopnje 2, to je polinom tipa ax2+ bx + c, kjer The, B in ç so realna števila. Pri reševanju enačbe stopnje 2 nas zanima iskanje vrednosti za neznano. x to pomeni, da je vrednost izraza enaka 0, ki se imenujejo korenine, to je ax2 + bx + c = 0.
Preberite tudi vi: Razlike med funkcijo in enačbo
Vrste enačb 2. stopnje
Enačba 2. stopnje je lahko predstavljeno z ax² + bx + c = 0, kjer so koeficienti The, B in ç so realna števila, z The ≠ 0.
→ Primeri
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 in c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 in c = 2
c) 0,5-krat2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 in c = -1
Enačba 2. stopnje je razvrščena kot popolna ko se vsi koeficienti razlikujejo od 0, to je, The ≠ 0, B ≠ 0 in ç ≠ 0.
Enačba 2. stopnje je razvrščena kot nepopolna ko je vrednost koeficientov B ali ç so enaki 0, to je b = 0 ali c = 0.
→ Primeri
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 in c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 in c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 in c = 0
Glave gor: vrednost koeficienta The nikoli ni enako 0, če se to zgodi, enačba ni več 2. stopnja.
Kako rešiti enačbe 2. stopnje?
Rešitev enačbe 2. stopnje se pojavi, ko korenine najdene vrednosti, to je vrednosti, dodeljene x. Te vrednosti x mora enakost uresničiti, to je z nadomestitvijo vrednosti x v izrazu mora biti rezultat enak 0.
→ Primer
Upoštevajoč x enačbo2 - 1 = 0 imamo, da sta x ’= 1 in x’ ’= - 1 rešitvi enačbe, ker če nadomestimo te vrednosti v izrazu, imamo resnično enakost. Poglej:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 in (–1)2 – 1 = 0
Da bi našli rešitev a enačba, je treba analizirati, ali je enačba popolna in nepopolna, ter izbrati, katero metodo bomo uporabili.
Rešitvena metoda za enačbe tipa ax²+ c = 0
Metoda za določitev rešitve nepopolnih enačb, ki jih imajo B=0sestoji iz izolacije neznanega x, torej:
→ Primer
Poiščite korenine enačbe 3x2 – 27 = 0.
Če želite izvedeti več o tej metodi, pojdite na: Nepopolna enačba 2. stopnje z ničelnim koeficientom b.
Rešitvena metoda za enačbe tipa sekira2 + bx = 0
Metoda za določanje možnih rešitev enačbe z ç = 0, je sestavljen iz uporabe faktoring dokazov. Poglej:
sekira2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Ko gledamo zadnjo enakost, je opazno, da gre za množenje in da je rezultat 0, mora biti vsaj eden od faktorjev enak 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 ali ax + b = 0
Tako je rešitev enačbe dana z:
→ Primer
Določite rešitev enačbe 5x2 - 45x = 0
Če želite izvedeti več o tej metodi, pojdite na: nepopolna enačba 2. stopnje z ničelnim koeficientom c.
Rešitvena metoda za popolne enačbe
Metoda, znana kot Bhaskara metoda ali Formula bhaskare poudarja, da so korenine enačbe 2. stopnje tipa ax2 + bx + c = 0 je podano z naslednjim razmerjem:
→ Primer
Določite rešitev enačbe x2 - x - 12 = 0.
Upoštevajte, da so koeficienti v enačbi: a = 1; B= - 1 in ç = – 12. Če te vrednosti nadomestimo z Bhaskarovo formulo, imamo:
Delta (Δ) je poimenovana po diskriminatorno in opazite, da je znotraj a kvadratni koren in kot vemo, ob upoštevanju realnih števil ni mogoče izvleči kvadratnega korena negativnega števila.
Če poznamo vrednost diskriminante, lahko podamo nekaj izjav o rešitvi enačbe 2. stopnje:
→ pozitivna diskriminanta (Δ> 0): dve rešitvi enačbe;
→ diskriminanta enaka nič (Δ = 0): rešitve enačbe se ponovijo;
→ negativna diskriminanta (Δ <0): ne priznava resnične rešitve.
Sistemi enačb druge stopnje
Ko hkrati upoštevamo dve ali več enačb, imamo a sistem enačb. Rešitev sistema z dvema spremenljivkama je niz urejenih parov ki hkrati izpolnjuje vse vključene enačbe.
→ Primer
Razmislite o sistemu:
Z vrednostmi: x ’= 2, x’ ’= - 2 in y’ = 2, y ’’ = - 2 lahko sestavimo urejene pare, ki hkrati zadovoljujejo sistemske enačbe. Glej: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Spomnimo se, da je urejen par zapisan v obliki (x, y).
Metode za iskanje rešitve sistema enačb so podobne metodam linearni sistemi.
→ Primer
Razmislite o sistemu:
Iz enačbe x - y = 0 ločimo neznano x, tako:
x - y = 0
x = y
Zdaj moramo izolirano vrednost nadomestiti v drugo enačbo, takole:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Z uporabo metode Bhaskara moramo:
Ker je x = y, bomo imeli x ’= y’ in x ’’ = y ’’. Tj.
x ’= 4
x ’’ = -3
Tako so urejeni pari rešitve sistema (4, 4) in (- 3, - 3).
Preberi več: Sistem enačb 1. in 2. stopnje
rešene vaje
Vprašanje 1 - (ESPM -SP) Rešitvi spodnje enačbe sta dve številki
a) bratranci.
b) pozitivno.
c) negativno.
d) pari.
e) nenavadno.
Rešitev
Vemo, da imenovalci ulomka ne morejo biti enaki nič, torej x ≠ 1 in x ≠ 3. In ker imamo enako število ulomkov, se lahko navzkrižno pomnožimo in dobimo:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Če delimo obe strani enačbe z 2, imamo:
x2 - 4x - 5 = 0
Iz Bhaskarine formule sledi, da:
Upoštevajte, da so korenine enačbe neparna števila.
Alternativa e.
2. vprašanje - (UFPI) Perutnina je ugotovila, da bi po namestitvi (n +2) ptic v vsako od n razpoložljivih ptičnic ostala le ena ptica. Skupno število ptic za katero koli naravno vrednost n je vedno
a) sodo število.
b) liho število.
c) popoln kvadrat.
d) število, deljivo s 3.
e) praštevilo.
Rešitev
Število ptic lahko najdemo tako, da število ptičnic pomnožimo s številom ptic, nameščenih v vsaki. od njih je po izjavi vaje po tem postopku še vedno ena ptica, vse to lahko zapišemo v nadaljevanju način:
n · (n + 2) +1
Z distribucijo bomo dobili:
št2 + 2n +1
Iz faktoringa tega polinoma sledi, da:
(n + 1)2
Tako je skupno število ptic vedno popoln kvadrat za katero koli naravno število n.
Alternativa C
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
Vir: Brazilska šola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm