Newtonov binom je kateri koli binom, povzdignjen v število št Na čem št to je naravno število. Zahvaljujoč študiju fizika Isaac Newton o močeh binoma je bilo mogoče preverite pravilnosti, ki olajšajo predstavitev polinoma ki nastane iz moči binoma.
Opazovanje teh zakonitosti je postalo tudi mogoče poiščite samo enega od pogojev polinom, ne da bi bilo treba vsega izračunati z uporabo formule splošnega izraza binoma. Poleg tega je Newton opazil razmerje med kombinatorna analizaa in Newtonovi binomi, kaj je naredilo Pascalov trikotnik odlično orodje za bolj praktičen razvoj Newtonovega binoma.
Preberite tudi: Naprava Briot-Ruffini - metoda za delitev polinoma
Opredelitev Newtonovega binoma
Določimo kot binomapolinom, ki ima dva izraza. V nekaterih aplikacijah v matematiki in fiziki je treba izračunati moči binoma. Da bi olajšali postopek, Isaac Newton je opazil pomembne zakonitosti ki nam omogočajo, da najdemo polinom, ki izhaja iz moči binoma.
V nekaterih primerih je izračun zelo preprost: samo izvedite množenje binoma s pomočjo distribucijske lastnosti. Do jakosti 3. reda se razvijamo brez veliko truda, saj so znani pomembni izdelki, vendar za višje moči izračunajte iz množenja izraza samega št včasih je veliko dela.
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Primeri
Ne pozabite, da je vsako število, zvišano na nič, enako 1 in da je vsako število, zvišano na 1, samo po sebi, kar velja tudi za binome.
Newton je opazil a razmerje med koeficienti vsakega od členov in kombinacijo, ki je omogočil izračun moči binoma bolj neposredno iz naslednje formule:
Razumevanje formule:
Najprej si oglejmo dobesedni del vsakega izraza, ki je črka z eksponentom. Upoštevajte, da je za vsak izraz eksponent “a "se je zmanjšal, začenši z n, nato pa prešel na n - 1 in tako naprej, dokler ni bil 1 v predzadnjem in 0 v zadnjem izrazu (zaradi česar se črka" a "v zadnjem izrazu niti ni pojavila).
prepoznavanje The in njegovi eksponenti:
Zdaj pa analiziramo eksponente "b", ki se vedno povečujejo, začenši z 0 v prvem členu ( zaradi česar se črka b ne pojavlja v prvem členu), 1 v drugem členu in tako naprej, dokler ni enaka The štv zadnjem mandatu.
prepoznavanje B in njegovi eksponenti:
Razumevanje dobesednega dela, poglejmo analizirajte koeficiente, ki so vse kombinacije št elementi, vzeti od 0 do 0, 1 do 1, 2 do 2, in tako naprej do zadnjega izraza, ki je kombinacija št elementi vzeti iz št v št.
Omeniti velja, da obvladovanje izračuna kombinacije da bi lahko našli koeficiente. Ne pozabite, da za izračun kombinacij moramo:
Kombinacijski odziv je vedno a naravno število.
Glej tudi: Polinomska delitev: kako jo rešiti?
Primer: Izračunaj Newtonov binom (a + b) na četrto potenco.
1. korak: napišemo polinom s formulo.
2. korak: izračunajte kombinacije.
Z zamenjavo kombinacij bo najti polinom:
Vidite lahko, da je reševanje tovrstnih primerov še vedno mukotrpno, odvisno od eksponenta, a kljub temu je hitrejše od izračuna z uporabo distribucijske lastnosti. Orodje, ki lahko pomaga pri tem izračunu, je Pascalov trikotnik.
Pascalov trikotnik
Pascalov trikotnik je razvil Blaise Pascal med preučevanjem kombinacij. Je način, ki olajša računanje kombinacij. Uporaba Pascalovega trikotnika omogoča hitrejše in lažje iskanje koeficientov dobesednih delov newtonskega binoma, ne da bi bilo treba izračunati vse kombinacije.
Če želite neposredno sestaviti Pascalov trikotnik, si zapomnimo dve situaciji, ko je izračun kombinacije enak 1.
Tako sta prvi in zadnji člen vseh vrstic vedno enaka 1. Osrednji izrazi so zgrajeni iz vsote izraza nad njim in njegovega soseda iz prejšnjega stolpca, kot je prikazano spodaj:
Če želite zgraditi naslednje vrstice, ne pozabite, da je prvi izraz 1 in zadnji tudi. Potem je dovolj, da naštejemo vsote, da odkrijemo osrednje izraze.
Dostop tudi: Teorem polinomske razgradnje
Primer: Izračunaj (a + b) do šeste stopnje.
1. korak: uporabi formulo binoma.
2. korak: zgraditi Pascalov trikotnik do 6. vrstice.
3. korak: kombinacije zamenjajte z vrednostmi v vrstici 6, ki so koeficienti vsakega od členov binoma.
Kar določa število vrstic, ki jih bomo zgradili iz binoma, je vrednost n. Pomembno je vedeti, da je prva vrstica nič.
Newtonov binomni splošni izraz
Newtonov splošni izraz binom je formula, ki nam omogoča, da izračunamo člen binoma, ne da bi morali razviti celoten polinom, to pomeni, da lahko določite katerega koli izraza od prvega do zadnjega. S formulo neposredno izračunamo izraz, ki ga iščemo.
The: prvi mandat
B: drugi mandat
n: eksponent
p + 1: iskalni izraz
Primer: Poiščite 11. člen binoma (a + b)12.
Resolucija:
Glej tudi: Demonstracije skozi algebrskega računa
rešene vaje
Vprašanje 1 - (Cesgranrio) Koeficient x4 v polinumu P (x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12.
d) 4
e) 24
Resolucija
Pri reševanju binoma želimo najti določen izraz; za to moramo najti vrednost p.
Vemo, da je prvi člen v tem primeru enak x, torej n - p = 4, saj je n = 6, imamo:
Zato je koeficient 60 (alternativa B).
Vprašanje 2 - (Unifor) Če je osrednji izraz binomskega razvoja (4x + ky)10 za 8064x5y5, potem bo alternativa, ki ustreza vrednosti k:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Resolucija: Vemo, da ima osrednji izraz enake koeficiente (p = 5). Poiščimo 6. člen, saj je p + 1 = 6. Poleg tega imamo a = 4x; b = ky in n = 10, torej:
Alternativa D.
Avtor Raul Rodrigues de Oliveira
Učitelj matematike
