Ena enačba je matematični stavek, ki ima enakost in vsaj eno neznanko, torej kadar imamo vpletenost a algebrski izraz in enakost. Preučevanje enačb zahteva predhodno znanje, na primer preučevanje številski izrazi. Namen enačbe je poiščite neznano vrednost ki enakost spremeni v identiteto, to je resnično enakost.
Preberite tudi:Operacije z ulomki - kako izračunati?
Osnovni koncepti za študij enačb
Enačba je matematični stavek, ki ima a neznano, vsaj, in a enakost, in jo lahko razvrstimo po številu neznank. Oglejte si nekaj primerov:
a) 5t - 9 = 16
Enačba ima neznanko, ki jo predstavlja črka t.
b) 5x + 6y = 1
Enačba ima dve neznanki, ki ju predstavljata črki x in y
c) t4 - 8z = x
Enačba ima tri neznanke, predstavljene s črkami v redu,z in x.
Ne glede na enačbo moramo upoštevati vašo vesolje nastavljeno,sestavljen iz vseh možnih vrednosti, ki jih lahko damo neznanemu, ta niz predstavlja črka U.
Primer 1
Razmislite o enačbi x + 1 = 0 in njeni možni rešitvi x = –1. Zdaj pomislite, da so vesoljski sklop enačbe naravno.
Upoštevajte, da domnevna rešitev ne spada v vesoljni niz, saj so njegovi elementi vse možne vrednosti, ki jih lahko sprejme neznano, zato x = –1 ni rešitev enačbe.
Seveda, večje je število neznank, težje je določiti svojo rešitev. THE rešitev ali vir enačbe je niz vseh vrednosti, ki, če so dodeljene neznanemu, pomenijo enakost enako.
2. primer
Razmislite o enačbi z neznano 5x - 9 = 16, preverite, ali je x = 5 rešitev ali koren enačbe.
Tako da je to mogoče reči x = 5 je rešitev enačbe, moramo to vrednost nadomestiti v izrazu, če najdemo resnično enakost, bo število preizkušena rešitev.
5x – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Glejte, da je ugotovljena enakost resnična, zato imamo identiteto in številka 5 je rešitev. Torej lahko rečemo, da je nabor rešitev podan z:
S = {5}
3. primer
Razmislite o enačbi t2 = 4 in preverite, ali sta t = 2 ali t = –2 rešitvi enačbe.
Analogno bi morali v enačbo nadomestiti vrednost t, vendar upoštevajte, da imamo dve vrednosti za neznano, zato bi morali preverjanje opraviti v dveh korakih.
Korak 1 - Za t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
2. korak - Za t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Za t = 2 in t = - 2 poiščimo identiteto, zato sta ti dve vrednosti rešitvi enačbe. Tako lahko rečemo, da je nabor rešitev:
S = {2, –2}
Ne ustavi se zdaj... Po oglaševanju je še več;)
Vrste enačb
Enačbo lahko razvrstimo tudi glede na položaj, ki ga zavzemajo neznanke. Oglejte si glavne vrste:
Polinomske enačbe
Ob polinomske enačbe za katere je značilno, da imajo polinom enak nič. Oglejte si nekaj primerov:
The) 6t3+ 5t2–5t = 0
Številke6, 5 in –5 so koeficienti enačbe.
B) 9x – 9= 0
Številke 9 in – 9 so koeficienti enačbe.
c) y2– y – 1 = 0
Številke 1, – 1 in – 1 so koeficienti enačbe.
Enačbene stopnje
Polinomske enačbe lahko razvrstimo po njihovi stopnji. Pa tudi polinome, je stopnja polinomske enačbe podana z največja moč, ki ima ničelni koeficient.
Iz prejšnjih primerov a, b in c imamo, da so stopnje enačb:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Polinomska enačba tretja stopnja
b) 9x - 9 = 0 → Polinomska enačba prva stopnja
ç) y2 - y - 1 = 0 → Polinomska enačba Srednja šola
Preberite tudi vi: kvadratna enačbau: kako izračunati, vrste, primeri
racionalne enačbe
Za racionalne enačbe je značilno, da imajo svoje neznanke v imenovalcu a ulomek. Oglejte si nekaj primerov:
Preberite tudi vi: Kaj so racionalna števila?
iracionalne enačbe
Ob iracionalne enačbe je značilno, da imajo svoje neznanke znotraj n-tega korena, to je znotraj radikala, ki ima indeks n. Oglejte si nekaj primerov:
eksponentne enačbe
Ob eksponentne enačbe imajo neznanke, ki se nahajajo v eksponentu a potenco. Oglejte si nekaj primerov:
logaritemska enačba
Ob logaritemske enačbe je značilno, da imajo ena ali več neznank v nekem delu logaritem. Videli bomo, da pri uporabi definicije logaritma enačba v nekaterih prejšnjih primerih pade. Oglejte si nekaj primerov:
Glej tudi: Enačba prve stopnje z neznano
Kako rešiti enačbo?
Da bi rešili enačbo, moramo preučiti metode, uporabljene v vsaki vrsti, to pomeni, da za vsako vrsto enačbe obstaja drugačna metoda za določitev možnih korenin. Vse te metode pa so izhaja iz načela enakovrednosti, z njim je mogoče rešiti glavne vrste enačb.
Načelo enakovrednosti
Drugo načelo enakovrednosti je, da lahko svobodno delujemo na eni strani enakosti, če to počnemo tudi na drugi strani enakosti. Za boljše razumevanje bomo poimenovali te strani.
Zato načelo enakovrednosti navaja, da je to mogoče operirati prvi ud prosto, dokler ista operacija se izvede pri drugem članu.
Da bi preverili načelo enakovrednosti, upoštevajte naslednjo enakost:
5 = 5
Gremo zdaj dodati na obeh straneh številka 7 in upoštevajte, da bo enakost še vedno veljala:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Gremo zdaj odštejemo 10 na obeh straneh enakosti, še enkrat upoštevajte, da bo enakost še vedno veljala:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
vidimo, da lahko pomnožite ali deliti in dvignite na a potenco ali celo izvleček a vir, dokler se to stori s prvim in drugim članom, bo enakost vedno veljala.
Za rešitev enačbe moramo uporabiti to načelo skupaj s poznavanjem omenjenih operacij. Da bi olajšali razvoj enačb, izpustimo postopek, izveden na prvem članu, enakovredno je reči, da številko posredujemo drugemu članu in zamenjamo znak za nasprotno.
Ideja za določitev rešitve enačbe je vedno izolirati neznano z uporabo načela enakovrednosti, Poglej:
4. primer
Z uporabo načela enakovrednosti določimo niz rešitev enačbe 2x - 4 = 8, pri čemer vemo, da je vesoljski niz dan z: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Da bi rešili polinomsko enačbo prve stopnje, moramo v prvem članu pustiti neznano izolirano. Za to bomo od prvega člana vzeli številko –4 in na obe strani dodali 4, saj je –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Upoštevajte, da je izvajanje tega postopka enakovredno preprosto podajanju številke 4 z nasprotnim predznakom. Torej, da izoliramo neznani x, podajmo številko 2 drugemu članu, saj množi x. (Ne pozabite: obratna operacija množenja je deljenje). To bi bilo enako, kot če bi delili obe strani z 2.
Zato je nabor rešitev podan z:
S = {6}
Primer 5
Reši enačbo 2x + 5 = 128 vedoč, da je vesoljni niz dan z U = ℝ.
Za rešitev eksponentne enačbe najprej uporabimo naslednje lastnost potenciranja:
Them + n =m · Ašt
Uporabili bomo tudi dejstvo, da 22 = 4 in 25 = 32.
2x + 5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
Upoštevajte, da je mogoče obe strani razdeliti na 32, to je, da delite številko 32 drugemu članu.
Torej moramo:
2x = 4
2x = 22
Edina vrednost x, ki izpolnjuje enakost, je številka 2, torej je x = 2 in nabor rešitev je podan z:
S = {2}
rešene vaje
Vprašanje 1 - Razmislite o postavljenem vesolju U = ℕ in določite rešitev naslednje iracionalne enačbe:
Resolucija
Da bi rešili to enačbo, se moramo ukvarjati z odpravo korena prvega člana. Upoštevajte, da moramo za to prvega člana dvigniti v isti indeks kot koren, torej v kocko. Po načelu enakovrednosti moramo dvigniti tudi drugega člana enakosti.
Upoštevajte, da moramo zdaj rešiti polinomsko enačbo druge stopnje. Podajmo številko 11 drugemu članu (odštejmo 11 na obeh straneh enakosti), da izoliramo neznani x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Zdaj, da določimo vrednost x, poglejte, da obstajata dve vrednosti, ki izpolnjujeta enakost: x ’= 4 ali x’ ’= –4, enkrat:
42 = 16
in
(–4)2 = 16
V izjavi vprašanja pa upoštevajte, da je dani niz vesolja množica naravnih števil, številka –4 pa mu ne pripada, zato je skupek rešitev podan z:
S = {4}
2. vprašanje - Razmislite o polinomski enačbi x2 + 1 = 0 vedoč, da je vesoljni niz dan z U = ℝ.
Resolucija
Za načelo enakovrednosti od obeh članov odštejemo 1.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Upoštevajte, da enakost nima rešitve, saj so množice vesolja realna števila, to je vse vrednosti, za katere lahko neznanec domneva, da so resnične in ni pravega števila, ki bi bilo, če je na kvadrat, negativno.
12 = 1
in
(–1)2 = 1
Zato enačba nima rešitve v nizu realov, zato lahko rečemo, da je nabor rešitev prazen.
S = {}
avtor Robson Luiz
Učitelj matematike
(Enem 2009) Skupina 50 ljudi je sestavila začetni proračun za organizacijo zabave, ki bi si jo razdelili v enake deleže. Na koncu je bilo ugotovljeno, da za pokritje vseh stroškov manjka 510,00 R $ in da se je skupini pridružilo 5 novih ljudi. V naselju je bilo odločeno, da si bo skupne stroške enakomerno razdelilo 55 ljudi. Tisti, ki še niso prispevali, bi plačali svoj delež, vsak od 50 ljudi v začetni skupini pa bi moral prispevati dodatnih 7,00 R $.
Kakšna je bila po teh podatkih vrednost kvote, izračunane v končnem dogovoru za vsakega od 55 ljudi?
(Vunesp - 2011) Pedrinho je bil star štiri leta, ko je njegova mati rodila dvojčka. Danes je vsota starosti treh bratov in sester stara 52 let. Današnja starost Pedrinha je:
