Vy iracionálne čísla spôsobovalo u matematikov dlhé obdobie veľké znepokojenie. Dnes, už dobre definované, poznáme ako iracionálne číslo to, ktorého desatinné vyjadrenie je vždy neperiodické desatinné miesto. Hlavnou charakteristikou iracionálov a tým, čo ich odlišuje od racionálnych čísel, je to, že nemôžu byť zastúpené a zlomok.
Štúdium iracionálnych čísel sa prehĺbilo, keď sa pri výpočte problémov týkajúcich sa Pytagorovej vety našli nepresné korene. Akt hľadania riešenia týchto nepresných koreňov spôsobil, že existencia nepresných desiatkov bola pozoruhodná periodické, to znamená čísel, ktorých desatinná časť je nekonečná a nemá dobrú postupnosť. definované. Hlavné iracionálne čísla sú neperiodické desatinné miesta, nepresné korene a π.
Prečítajte si tiež: Druhá odmocnina - prípad zakorenenia, pri ktorom je radikálny index 2
Sada iracionálnych čísel
Pred štúdiom iracionálnych čísel boli študované množiny čísel prirodzené, celé čísla a racionálne hodnoty. Keď sa ponoríme hlbšie do štúdia obdĺžnikového trojuholníka, bolo zrejmé, že
existujú korene, ktoré nemajú presné riešenie., bolo predovšetkým možné vidieť, že nepresné koreňové riešenia sú čísla známe ako neperiodické desiate.Uprostred tohto znepokojenia sa veľa matematikov pokúsilo neúspešne preukázať, že nepresné korene sú racionálne čísla a ktoré sa dajú reprezentovať ako zlomok, ale uvedomilo sa, že tieto čísla v tomto nie je možné znázorniť formulár. Pretože doteraz množina racionálnych čísel tieto čísla neobsahovala, vyvstala potreba vytvoriť novú množinu, známu ako množina iracionálnych čísel.
Číslo je iracionálne, keď jeho desatinné vyjadrenie je neperiodické desatinné miesto. |
Čo sú to iracionálne čísla?
Aby to bolo iracionálne číslo, musí vyhovovať definícii, teda jeho desatinné vyjadrenie je neperiodické desatinné miesto. Hlavnou charakteristikou neperiodických desatinných miest je, že ich nemožno reprezentovať zlomkom, čo ukazuje, že iracionálne čísla sú opakom racionálnych čísel.
Hlavné čísla s touto funkciou sú korene nie sú presné.
Príklady:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Pri hľadaní nepresných koreňových riešení, to znamená pri vykonávaní desatinnej reprezentácie týchto čísel, vždy nájdeme neperiodické desatinné miesto, ktoré robí z týchto čísel prvky množiny iracionálne.
Okrem nepresných koreňov existujú aj samotné neperiodické desatinné miesta, napríklad ak vypočítame nepresné korene, nájdeme neperiodické desatinné miesto.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Iracionálne čísla sú bežne predstavované gréckymi písmenami, pretože nie je možné zapísať všetky jeho desatinné miesta.
Prvý z nich je π (čítaj: pi), prítomný pri výpočte plochy a obvodu kruhov. Má hodnotu rovnú 3,1415926535…
Okrem π je ďalším veľmi častým číslom ϕ (čítaj: fi). Nachádza sa v problémoch týkajúcich sa pomerný zlatá. Má hodnotu rovnajúcu sa 1,618033 ...
Pozri tiež: Čo sú prvočísla?
racionálne a iracionálne číslo
Pri analýze číselných množín je dôležité rozlišovať medzi racionálnymi číslami a iracionálnymi číslami. Spojenie týchto dvoch množín tvorí jednu z najštudovanejších množín v matematike, množinu reálií, to znamená množinu reálne čísla je to spojenie čísel, ktoré môžu byť reprezentované ako zlomky (racionálne) s číslami, ktoré nemôžu byť reprezentované ako zlomky (iracionálne).
V súbore racionálne čísla, existujú celé čísla, prirodzené, presné desatinné miesta a periodické desatinné miesta.
Príklady racionálnych čísel:
-60 → celé číslo
2,5 → presné desatinné miesto
5.1111111… → periodické desatinné miesto
Iracionálne čísla sú neperiodické desatinné miesta, takže neexistuje číslo, ktoré by bolo racionálne a iracionálne súčasne.
Príklad iracionálnych čísel:
1 123 149… → neperiodická desiata
2,769235… → neperiodická desiata
Operácie s iracionálnymi číslami
sčítanie a odčítanie
THE dodatok a odčítanie dvoch iracionálnych čísel je zvyčajne práve zastúpené, pokiaľ sa nepoužíva desatinná aproximácia týchto čísel, napríklad:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1,414213… + 3,1415926535…
Kvôli radikálom nemôžeme hodnoty pridať ani odčítať, takže sme operáciu nechali iba označenú.
V desatinných vyjadreniach tiež nie je možné vykonať presný súčet, takže na pridanie dvoch iracionálnych čísel potrebujeme racionálnu aproximáciu.a toto znázornenie sa vyberá podľa potreby presnosti týchto údajov. Čím viac desatinných miest vezmeme do úvahy, tým bližšie k presnej sume sa dostaneme.
Pozorovanie:množina iracionálnych čísel nie je uzavretá sčítaním alebo odčítaním, to znamená, že súčet dvoch iracionálnych čísel môže mať za následok číslo, ktoré nie je racionálne. Napríklad, ak vypočítame rozdiel iracionálneho čísla podľa jeho opaku, musíme:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Vieme, že 0 nie je iracionálne číslo.
Násobenie a delenie
Násobenie a rozdelenie iracionálnych čísel je možné urobiť, ak je zastúpenie a žiarenie, avšak ako sčítanie, pri desatinnom vyjadrení, to znamená vynásobení alebo vydelení dvoch desatinných miest, je potrebné racionálne priblíženie tohto čísla.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Všimnite si tiež, že v príklade b je 4 racionálne číslo, čo znamená, že násobenie a delenie dvoch iracionálnych čísel nie sú uzavreté, to znamená, že môžu mať racionálny výsledok.
vyriešené cviky
Otázka 1 - Skontrolujte nasledujúce čísla:
I) 3,1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Toto sú iracionálne čísla:
A) Iba ja, IV a V
B) Iba II, III a VI
C) Iba II, IV a VI
D) Iba I, II, III a VI
E) Iba III, IV, V a VI
Rozhodnutie
Alternatíva B
I → číslo je presné desatinné, racionálne.
II → číslo je neperiodické, iracionálne desatinné miesto.
III → π je iracionálny a jeho dvojnásobok, teda 2π, je tiež iracionálny.
IV → číslo je periodické, racionálne desatinné miesto.
V → presný, racionálny koreň.
VI → koreň nie je presný, iracionálny.
Otázka 2 - Posúďte nasledujúce vyhlásenia:
I - Množina reálnych čísel je spojením racionálnych a iracionálnych;
II - Súčet dvoch iracionálnych čísel môže byť racionálne číslo;
III - Desiata sú iracionálne čísla.
Pri analýze vyhlásení môžeme povedať, že:
A) Iba výrok I je pravdivý.
B) Iba výrok II je pravdivý.
C) Iba výrok III je pravdivý.
D) Pravdivé sú iba tvrdenia I a II.
E) Všetky tvrdenia sú pravdivé.
Rozhodnutie
Alternatíva D
I → Pravda, pretože definícia množiny reálnych čísel je spojením medzi racionálnym a iracionálnym.
II → Je pravda, že keď k opačnému číslu pripočítame číslo, výsledkom bude číslo 0, ktoré je racionálne.
III → Falošné, neperiodické desiate sú iracionálne.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm