O bodový produkt medzi dvoma vektormi je reálne číslo, ktoré súvisí s veľkosťou týchto vektorov, to znamená s ich dĺžkou a uhlom medzi nimi. Na jeho výpočet je preto potrebné poznať ich dĺžky a uhol, ktorý tvoria.
Použitím roviny ako základu vektor označuje polohu, intenzitu, smer a smer. Preto sa používa v štúdiách mechaniky (fyziky) ako zástupca sily pôsobiacej na objekt.
Zvyčajným znázornením vektora je šípka, ktorá končí v bode. Súradnice tohto bodu sú považované za súradnice vektora počnúc od bodu O (0,0). Na reprezentáciu napíšeme v = (a, b). Vektor v = (1,2) je teda nakreslený nasledovne:
Vektorový príklad od počiatku
Ak chcete vypočítať dĺžku tohto vektora, zvážte pravý trojuholník, ktorý tvorí a jeho priemet na os x (alebo os y), ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:
Dĺžka vektora v
Volá sa dĺžka vektora v v vektorová norma alebo vektorový modul v a predstavuje ho | v |. Všimnite si, že norma vektora v = (a, b) je presne mierou prepony trojuholníka znázorneného na obrázku vyššie. Na výpočet tejto miery použijeme Pytagorovu vetu:
| v |2 =2 + b2
| v | = √ (a2 + b2 )
Produkt s dvoma vektorovými bodkami
Vzhľadom na dva vektory u a v je vnútorný produkt medzi nimi reprezentovaný symbolom a je definovaná ako:
= | u || v | · cosθ
Toto je druh násobenia medzi dvoma vektormi, nenazýva sa však produktom, pretože nejde o bežné násobenie, pretože zahŕňa uhol tvorený týmito dvoma vektormi.
Uhol medzi dvoma vektormi
Prvým výsledkom vyplývajúcim z vyššie uvedenej definície je uhol medzi dvoma vektormi. So skutočnými číslami „bodový súčin“, „u vektorová norma“ a „v vektorová norma“ je možné vypočítať uhol medzi vektormi u a v. Ak to chcete urobiť, stačí vykonať výpočty:
= | u || v | · cosθ
= cosθ
| u || v |
Preto, keď vnútorný produkt vydelíme normami vektorov u a v, nájdeme skutočné číslo odkazujúce na kosínus medzi týmito dvoma vektormi, a teda aj uhol medzi nimi.
Upozorňujeme, že ak je uhol medzi dvoma vektormi rovný, cosθ sa rovná nule. Vyššie uvedený produkt bude mať preto nasledujúci výsledok:
= 0
Z toho možno vyvodiť záver, že vzhľadom na dva vektory u a v budú ortogonálne, ak = 0.
Vnútorný produkt vypočítaný z vektorových súradníc
Ak vezmeme do úvahy dva vektory u = (a, b) a v = (c, d), bodový súčin medzi u a v je daný:
= = a · c + b. d
Vnútorné vlastnosti produktu
Vzhľadom na vektory u, v a w a reálne číslo α si všimnite:
i) =
To znamená, že vnútorný produkt vektorov je „komutatívny“.
ii) = +
Táto vlastnosť je porovnateľná s distributívnosťou násobenia pri sčítaní.
iii)
Výpočet vnútorného súčinu medzi u a v vynásobený skutočným číslom α je rovnaký ako výpočet vnútorného súčinu medzi αv a u alebo medzi v a αu.
iv)
Vnútorný súčin v s v je iba nula, ak v je nulový vektor.
v)
Vnútorný súčin v s v bude vždy väčší alebo rovný nule.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/produto-interno-entre-dois-vetores.htm