Jeden rovnica je matematická veta, ktorá má rovnosť a aspoň jednu neznámu, to znamená, keď máme zapojenie a algebraický výraz a rovnosť. Štúdium rovníc vyžaduje predchádzajúce znalosti, ako je napríklad štúdium jazyka číselné výrazy. Účelom rovnice je nájdi neznámu hodnotu ktorá mení rovnosť na identitu, teda na skutočnú rovnosť.
Prečítajte si tiež:Operácie s zlomkami - ako vypočítať?
Základné koncepty pre štúdium rovníc
Rovnica je matematická veta, ktorá má a neznámyminimálne a rovnosť, a môžeme ju zoradiť podľa počtu neznámych. Zopár príkladov:
a) 5t - 9 = 16
Rovnica má neznámu, ktorú predstavuje písmeno t.
b) 5x + 6y = 1
Rovnica má dve neznáme, predstavované písmenami X a r.
c) t4 - 8z = x
Rovnica má tri neznáme, predstavované písmenami ok,z a X.
Nech už je rovnica akákoľvek, musíme brať do úvahy vašu vesmír nastavený,zložený zo všetkých možných hodnôt, ktoré môžeme priradiť neznámemu, túto množinu predstavuje písmeno U.
Príklad 1
Zvážte rovnicu x + 1 = 0 a jej možné riešenie x = –1. Teraz si uvedomte, že vesmírna rovnica je prirodzené.
Všimnite si, že predpokladané riešenie nepatrí do množiny vesmírov, pretože jeho prvkami sú všetky možné hodnoty, ktoré môže neznáme získať, takže x = –1 nie je riešením rovnice.
Čím je počet neznámych väčší, tým ťažšie je samozrejme určiť vaše riešenie. THE Riešenie alebo zdroj rovnice je množina všetkých hodnôt, ktoré keď sú priradené k neznámej, robia rovnosť pravdivou.
Príklad 2
Zvážte rovnicu s neznámym 5x - 9 = 16, skontrolujte, či x = 5 je riešením alebo koreňom rovnice.
Aby sa to dalo povedať x = 5 je riešením rovnice, musíme túto hodnotu nahradiť výrazom, ak nájdeme skutočnú rovnosť, číslom bude testované riešenie.
5X – 9 = 16
5(5) – 9 = 16
25 – 9 = 16
16 = 16
Uvidíte, že nájdená rovnosť je pravdivá, takže máme identitu a číslo 5 je riešením. Môžeme teda povedať, že množina riešení je daná:
S = {5}
Príklad 3
Zvážte rovnicu t2 = 4 a skontrolujte, či t = 2 alebo t = –2 sú riešením rovnice.
Analogicky by sme mali do rovnice dosadiť hodnotu t, nezabudnite však, že pre neznáme máme dve hodnoty, a preto by sme mali overenie vykonať v dvoch krokoch.
Krok 1 - Pre t = 2
t2= 4
22 = 4
4 = 4
Krok 2 - Pre t = –2
t2 = 4
(–2)2 = 4
4 = 4
Pozri pre t = 2 a t = - 2 nájdeme identitu, takže tieto dve hodnoty sú riešením rovnice. Môžeme teda povedať, že množina riešení je:
S = {2, –2}
Typy rovníc
Môžeme tiež klasifikovať rovnicu, pokiaľ ide o pozíciu, ktorú zaujímajú neznáme osoby. Zobraziť hlavné typy:
Polynomiálne rovnice
O polynomické rovnice sú charakterizované tým, že majú polynóm rovný nule. Zopár príkladov:
) 6t3+ 5t2–5t = 0
Čísla6, 5 a –5 sú koeficienty rovnice.
B) 9X – 9= 0
Čísla 9 a – 9 sú koeficienty rovnice.
c) r2– r – 1 = 0
Čísla 1, – 1 a – 1 sú koeficienty rovnice.
Rovnicové stupne
Polynomické rovnice možno klasifikovať podľa stupňa. Rovnako ako polynómy, stupeň polynomiálnej rovnice je daný najvyšší výkon, ktorý má nenulový koeficient.
Z predchádzajúcich príkladov a, b a c máme, že stupne rovníc sú:
a) 6t3 + 5 t2 –5t = 0 → Polynomiálna rovnica tretieho stupňa
b) 9X - 9 = 0 → Polynomiálna rovnica o prvý stupeň
ç) r2 - y - 1 = 0 → Polynomiálna rovnica o stredná škola
Čítajte tiež: kvadratická rovnicau: ako počítať, typy, príklady
racionálne rovnice
Racionálne rovnice sa vyznačujú tým, že majú svoje neznáme v menovateli a zlomok. Zopár príkladov:
Čítajte tiež: Čo sú to racionálne čísla?
iracionálne rovnice
O iracionálne rovnice sa vyznačujú tým, že majú svoje neznáme vo vnútri n-tého koreňa, teda vo vnútri radikálu, ktorý má index n. Zopár príkladov:
exponenciálne rovnice
O exponenciálne rovnice majú neznáme nachádzajúce sa v exponente a potencia. Zopár príkladov:
logaritmická rovnica
O logaritmické rovnice sa vyznačujú tým, že majú jedna alebo viac neznámych v niektorej časti logaritmus. Uvidíme, že pri aplikácii definície logaritmu padne rovnica v niektorých z predchádzajúcich prípadov. Zopár príkladov:
Pozri tiež: Rovnica prvého stupňa s neznámym
Ako vyriešiť rovnicu?
Aby sme mohli vyriešiť rovnicu, musíme študovať metódy používané pri každom type, to znamená, že pre každý typ rovnice existuje iná metóda na určenie možných koreňov. Všetky tieto metódy však sú odvodené z princípu ekvivalencie, pomocou ktorého je možné vyriešiť hlavné typy rovníc.
Princíp rovnocennosti
Druhým princípom rovnocennosti môžeme slobodne pôsobiť na jednej strane rovnosti, pokiaľ to robíme na druhej strane rovnosti. Pre lepšie porozumenie tieto strany pomenujeme.
Preto princíp ekvivalencie hovorí, že je to možné operovať na prvej končatine voľne, pokiaľ rovnaká operácia sa robí s druhým členom.
Na overenie zásady rovnocennosti zvážte nasledujúcu rovnosť:
5 = 5
Podme pridať na oboch stranách číslo 7 a všimnite si, že rovnosť bude stále platiť:
5 =5
5 + 7= 5 + 7
12 = 12
Podme odčítať 10 na oboch stranách rovnosti si opäť uvedomte, že rovnosť bude stále platiť:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
uvidíme, že môžeme znásobiť alebo zdieľam a zvýšiť na a potencia alebo dokonca extrahovať a zdroj, pokiaľ sa to robí na prvom a druhom členovi, rovnosť bude vždy platiť.
Na vyriešenie rovnice musíme použiť tento princíp spolu so znalosťami spomínaných operácií. Aby sme uľahčili vývoj rovníc, vynechajme operáciu vykonanú s prvým členom, je to ekvivalentné tvrdeniu, že odovzdávame číslo druhému členovi a vymieňame znamienko za opak.
Myšlienka určiť riešenie rovnice je vždy izolovať neznáme pomocou princípu ekvivalencie, Pozri:
Príklad 4
Pomocou princípu ekvivalencie určite množinu riešenia rovnice 2x - 4 = 8 s vedomím, že množina vesmíru je daná vzťahom: U = ℝ.
2x - 4 = 8
Aby sme vyriešili polynomiálnu rovnicu prvého stupňa, musíme nechať neznámeho v prvom člene izolovane. Z tohto dôvodu vezmeme číslo –4 od prvého člena a pridáme 4 na obe strany, pretože –4 + 4 = 0.
2x - 4 = 8
2x - 4+ 4 = 8+ 4
2x = 12
Upozorňujeme, že vykonanie tohto procesu je ekvivalentné jednoduchému odovzdaniu čísla 4 opačným znamienkom. Aby sme izolovali neznáme x, odovzdajme číslo 2 druhému členovi, pretože sa vynásobí x. (Pamätajte: inverzná operácia násobenia je delenie). Bolo by to rovnaké, ako keby ste obe strany vydelili dvoma.
Preto je sada riešení daná:
S = {6}
Príklad 5
Vyriešte rovnicu 2x + 5 = 128 s vedomím, že nastavený vesmír je daný U = ℝ.
Na vyriešenie exponenciálnej rovnice najskôr použijeme nasledujúce potenciačný majetok:
Them + n =m · Ač
Využijeme aj to, že 22 = 4 a 25 = 32.
2x + 5 = 128
2X · 25 = 128
2X · 32 = 128
Upozorňujeme, že je možné rozdeliť obe strany číslom 32, to znamená, že číslo 32 odovzdáte druhému členovi vydelením.
Musíme teda:
2X = 4
2X = 22
Jedinou hodnotou x, ktorá spĺňa rovnosť, je číslo 2, takže x = 2 a množina riešení je daná vzorcom:
S = {2}
vyriešené cviky
Otázka 1 - Uvažujme nastavený vesmír U = ℕ a určite riešenie nasledujúcej iracionálnej rovnice:
Rozhodnutie
Aby sme vyriešili túto rovnicu, musíme sa zaoberať elimináciou koreňa prvého člena. Upozorňujeme, že na to je potrebné povýšiť prvého člena na rovnaký index ako koreň, teda na kocku. Princípom rovnocennosti musíme zvýšiť aj druhého člena rovnosti.
Všimnite si, že teraz musíme vyriešiť polynomiálnu rovnicu druhého stupňa. Odovzdajme číslo 11 druhému členovi (odčítajme 11 na oboch stranách rovnosti), aby sme izolovali neznáme x.
X2 = 27 – 11
X2 = 16
Teraz, keď chcete určiť hodnotu x, zistite, že existujú dve hodnoty, ktoré vyhovujú rovnosti, x ’= 4 alebo x’ ’= –4, raz:
42 = 16
a
(–4)2 = 16
Vo vyhlásení o otázke si však všimnite, že daná množina vesmíru je množinou prirodzených čísel a číslo –4 mu nepatrí, teda množina riešení je daná:
S = {4}
otázka 2 - Uvažujme polynomiálnu rovnicu x2 + 1 = 0 s vedomím, že súprava vesmíru je daná U = ℝ.
Rozhodnutie
Pre princíp ekvivalencie odčítajte 1 od oboch členov.
X2 + 1 – 1= 0 – 1
X2 = – 1
Všimnite si, že rovnosť nemá riešenie, pretože sada vesmíru je skutočné číslo, to znamená všetko hodnoty, ktoré môže neznáma predpokladať, sú skutočné a neexistuje žiadne skutočné číslo, ktoré keď je štvorček, je negatívny.
12 = 1
a
(–1)2 = 1
Preto rovnica nemá riešenie v množine reálií, a teda môžeme povedať, že množina riešení je prázdna.
S = {}
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
