THE algebraická faktorizácia výrazu pozostáva z napísania algebraického výrazu v forma produktu. V praktických prípadoch, teda pri riešení niektorých problémov, ktoré s tým súvisia algebraické výrazy, faktorizácia je mimoriadne užitočná, pretože vo väčšine situácií zjednodušuje prepracovaný výraz.
Na vykonanie faktorizácie algebraických výrazov použijeme veľmi dôležitý výsledok v matematike zvaný základná veta aritmetiky, ktorá uvádza, že akékoľvek celé číslo väčšie ako 1 možno zapísať ako súčin čísla základné čísla, Pozri:
121 = 11 · 11
60 = 5 · 4 · 3
Práve sme započítali čísla 121 a 60.
Čítajte tiež: Rozklad čísla na hlavné faktory
Metódy pre faktoring algebraických výrazov
Teraz uvidíme hlavné faktorizačné metódy, najpoužívanejšie urobíme krátke geometrické zdôvodnenie. Pozri:
Dôkazový faktoring
Zvážte obdĺžnik:
Všimnite si, že obdĺžnik modrá plus plocha zeleného obdĺžnika má za následok väčší obdĺžnik. Pozrime sa na každú z týchto oblastí:
THEMODRÁ = b · x
THEZELENÁ = b · y
THEVäčší = b · (x + y)
Musíme teda:
THEVäčší = AMODRÁ + AZELENÁ
b (x + y) = bx + o
Príklady
) Rozdelenie výrazu: 12x + 24r.
Všimnite si, že 12 je dôkazný faktor, pretože sa objavuje na obidvoch balíkoch, takže na určenie počtu, ktoré idú do zátvork zdieľam dôkaz o každej zásielke.
12x: 12 = X
24r: 12 = 2r
12x + 24r = 12 · (X + 2r)
B) Do faktorového vyjadrenia 21ab2 - 702B.
Rovnakým spôsobom sa spočiatku určuje dôkazný faktor, to znamená faktor, ktorý sa opakuje v balíkoch. Vidíme, že z numerickej časti máme 7 ako spoločný faktor, pretože to je ten, ktorý rozdeľuje obe čísla. Teraz, pokiaľ ide o doslovnú časť, zistíme, že sa opakuje iba faktor ab, teda dôkazný faktor je: 7ab.
21ab2 - 702b = 7ab (3b - 10The)
Čítajte tiež: Polynomické delenie: ako na to?
Faktoring podľa zoskupenia
Faktorizácia podľa skupín je vyplývajúce z faktoringu dôkazmi, jediný rozdiel je v tom, že namiesto toho, aby sme mali monomium ako spoločný faktor alebo dôkazný faktor, budeme mať a polynóm, pozri príklad:
Zvážte výraz (a + b) · xy + (a + b) · wz2
Všimnite si, že spoločným faktorom je dvojčlen (a + b),preto zahrnutá forma predchádzajúceho výrazu je:
(a + b) · (Xy + wz2)
rozdiel medzi dvoma štvorcami
Zvážte dve čísla a a b, keď máme a rozdiel štvorca týchto čísel, to znamená,2 - B2, takže ich môžeme napísať ako súčin súčtu rozdielu, t.j.:
The2 - B2 = (a + b) · (a - b)
Príklady
) Na faktorovanie výrazu x2 - r2.
Môžeme použiť rozdiel medzi dvoma štvorcami, takže:
X2 - r2 = (x + y) · (x - y)
B) Do faktora 20202 – 2.0192.
Môžeme použiť rozdiel medzi dvoma štvorcami, takže:
2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)
2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1
2.0202 – 2.0192 = 4.039
Trinomiál dokonalého štvorca
Vezmite nasledujúci štvorec zboku (a + b) a všimnite si oblasti štvorcov a obdĺžnikov, ktoré sú v ňom vytvorené.
Prezrite si oblasť námestie väčšie je dané (a + b)2, ale na druhej strane plochu najväčšieho štvorca môžeme získať pridaním štvorcov a obdĺžnikov do neho, napríklad takto:
(a + b)2 =2+ ab + ab + b2
(a + b)2 =2+ 2b + b2
(a + b)2 =2 + 2ab + b2
Podobne musíme:
(a - b)2 =2 - 2ab + b2
Príklad
Zvážte výraz x2 + 12x + 36.
Ak chcete zohľadniť výraz tohto typu, jednoducho identifikujte koeficient premennej x a nezávislý koeficient a porovnajte ho s daným vzorcom:
X2 + 12x + 36
The2 + 2ab + b2
Pri porovnaní zistíme, že x = a, 2b = 12 a b2 = 36; z rovností máme b = 6, takže faktorizovaný výraz je:
X2 + 12x + 36 = (x + 6)2
Trinomiál strednej školy
Zvážte sekvenciu trojčlennú2 + bx + c. Jeho faktorizovaný tvar nájdete pomocou svoje korene, to znamená hodnoty x, ktoré tento výraz vynulovajú. Ak chcete určiť hodnoty, vďaka ktorým je tento výraz nulový, stačí vyriešiť rovnicu ax2 + bx + c = 0 pomocou akejkoľvek vhodnej metódy. Tu zdôrazňujeme najznámejšiu metódu: Bhaskarova metóda.
Započítaná forma trojuholníka sekery2 + bx + c je:
sekera2 + bx + c = a · (x - x1) · (X - x2)
Príklad
Zvážte výraz x2 + x - 20.
Prvým krokom je určenie koreňov rovnice x.2 + x - 20 = 0.
Takže faktorizovaná forma výrazu x2 + x - 20 je:
(x - 4) · (x + 5)
Kocka rozdielu medzi dvoma číslami
Kocka rozdielu medzi dvoma číslami a a b je daná vzťahom:
(a - b)3 = (a - b) · (a - b)2
(a - b)3 = (a - b) · (a2 - 2ab + b2)
Kocka súčtu dvoch čísel
Podobne to máme (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , čoskoro:
(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
vyriešené cviky
Otázka 1 - (Cefet-MG) Kde číslo n = 6842 – 6832, súčet číslic n je:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Rozhodnutie
Alternatíva d. Aby sme určili súčet číslic n, najskôr zohľadníme výraz, pretože výpočet štvorcov a potom odčítanie je zbytočná práca. Faktoring výrazu pomocou rozdielu medzi dvoma štvorcami, máme:
n = 6842 – 6832
n = (684 + 683) · (684 - 683)
n = 1 367,1
n = 1 367
Preto je súčet číslic n daný 1 + 3 + 6 + 7 = 17
Otázka 2 - (Modified Insper-SP) Určte hodnotu výrazu:
Rozhodnutie
Aby sme uľahčili zápis, pomenujme a = 2009 ab = 2. pamätaj, že 22 = 4, takže musíme:
Všimnite si, že v čitateli zlomku máme rozdiel medzi dvoma štvorcami, takže môžeme napísať2 - B2 = (a + b) (a - b). Čoskoro:
a - b = 2009 - 2 = 2007.
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/fatoracao-expressao-algebrica.htm