THE kombinatorická analýza je študijný odbor matematika spojený s pravidlami počítania. Na začiatku 18. storočia spôsobilo štúdium hier s kockami a kartami veľký rozvoj teórií počítania.
Dielo kombinatoriky umožňuje realizáciu čoraz presnejších sčítaní.Základný princíp počítania (PFC), faktoriál a typy zoskupenia sú príkladmi konceptov študovaných v kombinatorickej analýze, ktoré okrem poskytovania väčšie presnosť pomáha črozvoj ďalších oblastí matematiky, ako napr The pravdepodobnosť a O Newtonov dvojčlen.
Čítajte tiež: usporiadanie príp çkombinácia?
Na čo slúži kombinatorická analýza?
Kombinatorická analýza je spojená s procesom počítania, to znamená, že štúdium tejto oblasti matematiky nám umožňuje vyvinúť nástroje, ktoré nám pomôžu vykonávať sa počíta efektívnejšie. Pozrime sa na typický problém s počítaním, pozri:
Príklad 1
Zvážte tri mestá A, B a C spojené diaľnicami R1, R2, R3, R4 a R.5. Určte, koľko spôsobov sa môžeme dostať z mesta A do mesta C cez mesto B.
Upozorňujeme, že musíme opustiť mesto A a ísť do mesta B a až potom môžeme cestovať do mesta C, takže poďme analyzovať všetky možnosti uskutočniť udalosť nasledujúcu po diaľniciach.
1. spôsob: R1 → R3
2. spôsob: R1 → R4
3. spôsob: R1 → R5
4. spôsob: R2 → R3
5. spôsob: R2 → R4
6. spôsob: R2 → R5
Máme teda šesť rôznych spôsobov, ako sa dostať z mesta A do mesta C cez mesto B. Upozorňujeme však, že navrhovaný problém je pomerne jednoduchý a že vykonaná analýza bola málo prácna. Takže odteraz budeme študovať sofistikovanejšie nástroje, ktoré umožnia vyriešiť problémy s oveľa menšou prácou.
Základný princíp počítania (PFC)
Zvážte udalosť E, ktorú je možné vykonať v n nezávislých a po sebe nasledujúcich krokoch. Teraz zvážte, že počet možností vykonania prvého kroku sa rovná P1, tiež si predstavte, že počet možností na uskutočnenie druhej etapy je P.2, a tak ďalej, až kým sa nedostaneme do poslednej fázy, ktorá má Pč možnosti, ktoré sa majú vykonať.
Podľa základného princípu počítania (PFC): celkové možnosti konania podujatia E je dané:
P1 · P2 ·… · Pč
Celková suma je teda daná súčinom možností každého z krokov, ktoré tvoria udalosť E. Upozorňujeme, že na určenie celkových možností usporiadania udalosti E je potrebné poznať celkové možnosti pre každú z fáz.
Príklad 2
Zopakujme príklad 1 pomocou základného princípu počítania.
Zvážte obrázok v príklade 1.
Upozorňujeme, že podujatie sa môže konať v dvoch etapách. Prvá z mesta A do mesta B a druhá z mesta B do mesta C. Na vykonanie prvého kroku máme dve možnosti (cesty R1 a R.2) a na uskutočnenie druhej etapy máme tri možnosti (R.3, R4 a R.5).
1. krok → dve možnosti
2. etapa → tri možnosti
Podľa základného princípu počítania musíme znásobiť celkové možnosti každého kroku.
2 · 3
6
Preto ísť z mesta A do mesta C cez mesto B máme celkovo šesť možností.
Príklad 3
Koľko spôsobov je možné rozdeliť tri olympijské medaily v súťaži o Horský bicykel s piatimi konkurentmi?
Organizácia distribúcie medailí je podujatie, ktoré sa môže uskutočniť v troch etapách. Prvým krokom je analýza celkových možností toho, kto získa zlatú medailu, to znamená päť možnosti.
Druhým krokom je analýza možností, kto získa striebornú medailu, teda štyri, pretože prvé miesto nezadáva túto voľbu. Tretím krokom je analýza celkových možností toho, kto získa bronzovú medailu, tj. tri, pretože prvé dve už boli vybrané.
1. krok → päť možností
2. etapa → štyri možnosti
3. etapa → tri možnosti
Podľa základného princípu počítania teda máme:
5 · 4 · 3
60 možností
Pozri tiež: Princíp aditívneho počítania - spojenie jednej alebo viacerých množín
Faktoriál
O faktoriál je spôsob rozložiť prirodzené číslo. Ak chcete vypočítať faktoriál čísla, stačí ho vynásobiť všetkými jeho predchodcami až po číslo 1. Faktoriál je reprezentovaný výkričníkom - „!“.
Pozrite si niekoľko príkladov, ako vypočítať faktoriál niektorých čísel.
) 2! (znie: dva faktoriály)
Na výpočet stačí vynásobiť číslo, ktoré sprevádza faktoriál všetkými jeho predchodcami, až po číslo 1, takto:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formálne môžeme faktoriál napísať nasledovne:
Uvažujme prirodzené číslo n> 2. Faktoriál n je označený n! a je dané vynásobením n všetkými jeho kladnými celočíselnými predchodcami.
nie! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Všimnite si nasledujúce faktoriály:
4! a 5!
Teraz uskutočnite vývoj oboch:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Upozorňujeme, že pri vývoji 5! sa objavuje vývoj 4!. Takže môžeme napísať 5! teda:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Príklad 4
Vypočítajte faktoriálny sekvytie:
Uvidíte, že tých 15! bol vyvíjaný až do 13!. Všimnite si tiež, že v čitateli zlomku sa prvky množia, takže môžeme „vystrihnúť“ 13!, čo má za následok iba 15,14.
Pozorovanie:0! = 1
Typy zoskupenia
Niektoré problémy s počítaním sú zložitejšie a ľahšie sa riešia pomocou nových nástrojov. Tieto nástroje sa nazývajú zoskupovanie, pretože zoskupujú prvky rôznymi spôsobmi, čo uľahčuje proces počítania. Ide o tieto zoskupenia: jednoduché usporiadanie, permutácia a jednoduchá kombinácia.
jednoduché usporiadanie
Zvážte množinu s n odlišnými prvkami. nazvime to usporiadanie od n prvky prevzaté od p do p, ľubovoľná sekvencia zoradená p a odlišné prvky vybrané medzi prvkami.
Počet podmnožín tvorených p prvkami bude teda usporiadaním n prvkov prevzatých z p na p. Vzorec, ktorý nám umožňuje vypočítať počet opatrení, je daný:
Príklad 5
Vypočítajte hodnotu A4,2 + A5,2.
Na výpočet hodnoty výrazu určme každé z polí a potom tieto hodnoty spočítajme. Na určenie hodnoty každého poľa musíme nahradiť hodnoty vo vzorci.
Upozorňujeme, že vo vzorci boli nahradené n = 4 a p = 2. Teraz musíme vypočítať hodnotu poľa piatich prvkov, ktoré berieme dva po dvoch.
Musíme teda:
THE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Príklad 6
Koľko zreteľných štvorciferných prirodzených čísel je možné vytvoriť pomocou čísel 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9?
V tomto probléme môžeme použiť jednoduché usporiadanie od 2435 ≠ 4235. Uvidíme, že v niektorých prípadoch ich poradie prvkov nerozlišuje, a teda nemôžeme použiť usporiadanie.
Pretože chceme určiť súčet čísel, ktoré je možné vytvoriť, všimnite si, že súčet prvkov je rovný osem, a chceme ich zoskupiť štyri do štyroch, takže:
jednoduchá permutácia
Zvážte množinu s n prvkami. nazvime to jednoduchá permutácia z n prvkov každé usporiadanie n prvkov prijatých n až n. Musíme teda:
Aby nedošlo k zámene medzi pojmami, označme jednoduchú permutáciu n prvkov Pč. Musíme teda:
Pč = n!
Príklad 7
Vypočítajte P7 a P3.
Na výpočet týchto permutácií musíme nahradiť hodnoty vo vzorci. Pozri:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Príklad 8
Určte, koľko anagramov môže byť v slove Brazília.
Pod anagramom rozumieme všetky možné transpozície písmen slova, napríklad „Lisarb“ je a anagram slova Brazília. Aby sme určili počet anagramov, musíme vypočítať permutáciu písmen v slove, takže musíme:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Preto má slovo Brazília 720 anagramov.
Tiež prístup: Permutácia s opakovanými prvkami
jednoduchá kombinácia
Zvážte množinu A s n odlišnými prvkami. nazvime to kombinácia z n prvkov prijatých p až p ľubovoľná podmnožina A tvorená p prvkami. Vzorec na výpočet kombinácie je daný vzorcom:
Príklad 9
Vypočítajte kombináciu 10 prvkov od štyroch do štyroch.
Príklad 10
Koľko štvoruholníky zreteľne môžeme vytvoriť vrcholy v bodoch A, B, C, D, E a F?
Upozorňujeme, že štvoruholník ABCD je v tomto kontexte rovnaký ako štvoruholník CDBA, preto by sme mali používať kombináciu a nie polia. Máme celkovo šesť bodov a chceme ich spojiť štyri krát štyri, takto:
Preto môžeme vytvoriť 15 rôznych štvoruholníkov.
Kombinatorická analýza a pravdepodobnosť
Štúdia pravdepodobnosť úzko súvisí so štúdiom kombinatorickej analýzy.. Pri niektorých problémoch s pravdepodobnosťou je potrebné určiť vzorový priestor, ktorý pozostáva zo súboru tvoreného všetkými možnými výsledkami danej udalosti.
V niektorých prípadoch je vzorový priestor E napísaný veľmi priamo, napríklad pri otočení spravodlivej mince, kde možným výsledkom sú hlavy alebo chvosty a sú označené takto:
E = {hlavy, chvosty}
Teraz si predstavte nasledujúcu situáciu: kostka je vyhodená trikrát za sebou a nás zaujíma určenie vzorového priestoru pre tento experiment. Upozorňujeme, že zapisovanie všetkých možností už nie je jednoduchá úloha, musíme použiť základný princíp počítania (PFC). Akciu je možné uskutočniť v troch etapách, pričom v každej z nich máme šesť možností, pretože matrica má šesť tvárí, napríklad:
1. etapa → šesť možností
2. etapa → šesť možností
3. etapa → šesť možností
Podľa PFC máme za to, že celkový počet možností je:
6 · 6 · 6
216
Môžeme teda povedať, že ukážkový priestor tejto udalosti je 216.
Uvidíme, že pre štúdium pravdepodobnosti to tak je sú potrebné základné znalosti kombinatorickej analýzy., pretože bez určenia vzorového priestoru experimentu je nemožné vyriešiť prevažnú väčšinu pravdepodobnostných cvičení. Pre viac detailov o tejto oblasti matematiky si prečítajte text:Pravdepodobnosť.
vyriešené cviky
Otázka 1 - Určite počet anagramov slova hrad. Potom určite počet anagramov začínajúcich na písmeno c.
Rozhodnutie
Aby sme určili počet anagramov, musíme vypočítať permutáciu počtu písmen, napríklad takto:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Slovo má 5040 anagramov. Teraz, aby sme určili počet anagramov, ktoré začínajú písmenom c, musíme písmeno opraviť a vypočítať anagram ostatných, pozri:
Ç__ __ __ __ __ __
Keď opravíme písmeno c, všimnite si, že na výpočet permutácie ostáva šesť polí, napríklad takto:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Máme teda 720 anagramov slova hrad, ktoré sa začínajú písmenom c.
otázka 2 - V triede je päť mužov a sedem žien. Koľko skupín možno zložiť z troch mužov a štyroch žien?
Rozhodnutie
Najprv uvidíte, že nezáleží na poradí, v akom si vyberáme ľudí, napríklad skupina, ktorú vytvoril João, Marcos a José je rovnaká skupina, ktorú tvoria Marcos, João a José, preto musíme použiť kombináciu pre kalkulácia.
Počítajme osobitne počet skupín, ktoré môžu tvoriť muži a ženy Potom tieto výsledky vynásobme, pretože každá skupina mužov sa môže miešať s každou skupinou ženy.
Muži
Spolu → 5
Množstvo v skupine → 3
ženy
Spolu → 7
Množstvo v skupine → 4
Celkový počet skupín, ktoré môžu tvoriť traja muži a štyri ženy, je preto:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm