Keď študujeme mnohosteny, narazíme na Platónove pevné látky ako konkrétny prípad. Ak chcete byť Platónovou pevnou látkou, polyhedrón musí spĺňať tri podmienky:
byť konvexný;
všetky tváre majú rovnaké množstvo hrán;
všetky vrcholy sú konce rovnakého počtu hrán.
Viacerí filozofi sa snažili pochopiť vznik vesmíru a Platón to videl priestorová geometria vysvetlenie tohto pôvodu. Platónovými pevnými látkami sú:
štvorsten;
hexaedrón;
oktaédr;
dodecahedron;
ikosahedrón.
Všetky z nich sú považované za pravidelné polygóny hrany a ich tváre sú všetky zhodné. Platónovi pevní ľudia rešpektujú Eulerov vzťah, ktorý uvádza počet vrcholov, plôch a hrán podľa vzorca V + F = A + 2.
Prečítajte si tiež: Aké sú rozdiely medzi plochými a priestorovými údajmi?
pravidelná mnohostena
Hľadanie pravidelných mnohostenov sa opakuje, pretože sa s nimi ľahšie pracuje. Mnohosten je klasifikovaný ako pravidelný, ak je má všetky tváre tvorené rovnako mnohouholník zhodný. Ak k tomu dôjde, uhly a hrany sú tiež zhodné.
Platónove pevné látky sú osobitnými prípadmi pravidelných mnohostenov. Napríklad kocka, ktorá je Platónovým telesom, má všetky svoje tváre tvorené zhodnými štvorcami. Platónovych piatich tuhých látok, tri sú tvorené trojuholníkovými plochami so zhodnými trojuholníkmi, jednu tvoria štvorcové plochy a druhú päťuholníkové plochy.
Čo sú Platónove pevné látky?
Platón bol grécky filozof a matematik. Veľkou mierou prispel k matematike a v snahe porozumieť vesmíru, spojené tuhé látky s prvkami prírody.
Ak chcete byť platonickou pevnou látkou, musí byť to mnohosten pravidelné a konvexné. Existuje iba päť pevných látok, ktoré vyhovujú tejto definícii. Sú to: štvorsten, kocka alebo šesťsten, osemsten, ikosahedron a dodekahedron.
Vzťah medzi prírodným prvkom a pevnou látkou bol:
štvorsten - oheň
šesťuholník - Zem
osemstena - vzduch
ikosahedrón - Voda
dodecahedron - Kozmo alebo vesmír
Byť Platónovým masívom, O mnohosten tiež musí byť konvexné, všetky tváre musia mať rovnaký počet hrán a všetky vrcholy musia byť koncami rovnakého počtu hrán.
Pozri tiež: Dlažobné kocky - geometrické pevné látky tvorené plochými a mnohouholníkovými plochami
pravidelný štvorsten
Pravidelný štvorsten je mnohosten, ktorý má 4 tváre, ktorý odôvodňuje svoje meno (tetra = štyri). všetky vaše tváre sú tvorené trojuholníkmi. Má tvar ako pyramída trojuholníkovej základne a je známa ako pyramída pravidelnej základne, pretože všetky jej tváre sú zhodné. Má celkovo 4 tváre (vo formáte rovnostranný trojuholník), 4 vrcholy a 6 okrajov.
Ak si chcete zostaviť svoj vlastný pravidelný štvorsten, stačí si stiahnuť a vytlačiť PDF tu.
Pravidelná kocka alebo šesťuholník
pravidelný šesťuholník má 6 tváre, ktorý odôvodňuje svoj názov (hex = šesť). tvoje tváre sú všetky námestie. Je tiež známa ako kocka a má 6 tvárí, 12 hrán a 8 vrcholov.
Ak si chcete postaviť vlastnú kocku, stačí si stiahnuť a vytlačiť PDF tu.
Osemstena
Rovnako ako predchádzajúce, aj meno je spojené s počtom tvárí, teda s osemstenmi má 8 tvárí. Tieto tváre majú rovnostranný trojuholníkový tvar. Oktaédr má 8 tvárí, 12 hrán a 6 vrcholov.
Ak si chcete zostaviť svoj vlastný osemsten, stačí si stiahnuť a vytlačiť PDF tu.
ikosahedrón
Ikosahedrón má celkom 20 tvárí. Ich tváre majú tvar rovnostranných trojuholníkov, rovnako ako osemsten. Má celkovo 20 tvárí, 30 okrajov a 12 vrcholov.
Ak si chcete postaviť svoj vlastný ikosahedrón, stačí si stiahnuť a vytlačiť PDF tu.
Dodecahedron
Dodecahedron je posledný z Platónových pevných látok. Má celkovo 12 tvárí a považuje sa to za harmonickejšie medzi piatimi platonickými pevnými látkami. Ich tváre majú tvar päťuholníkov. Má 12 tvárí, 30 okrajov a 20 vrcholov.
Ak si chcete postaviť svoj vlastný dvanásťsten, stačí si stiahnuť a vytlačiť PDF tu.
Tiež prístup: Valec - geometrický útvar tvorený dvoma rovnobežnými kruhovými plochami a v rôznych rovinách
Eulerov vzorec
Euleriánske mnohosteny sú konvexné mnohosteny. Euler vyvinul vzorec, ktorý súvisí s počtom plôch (F), počtom vrcholov (V) a počtom hrán (A) v konvexnom mnohostene. Všetky Platónovy pevné látky vyhovujú Eulerovmu vzťahu.
V + F = A + 2 |
Analýza vzorca potom je možné vypočítať počet vrcholov z počtu tvárí a hrán, alebo skrátene počet tvárí z počtu vrcholov a hrán, ak poznáme dva z jeho prvkov, je vždy možné nájsť tretí.
Príklad:
Vedieť, že mnohosten má 8 vrcholov a 12 hrán a že je pravidelný, koľko má tvárí?
Vieme, že V + F = A + 2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
vyriešené cviky
Otázka 1 - (Enem 2016) Platónovými telesami sú konvexné mnohosteny, ktorých tváre sú všetky v súlade s jedným polygónom regulárne, všetky vrcholy majú rovnaký počet dopadajúcich hrán a každú hranu zdieľajú iba dva. tváre. Sú dôležité napríklad pri klasifikácii tvarov minerálnych kryštálov a pri vývoji rôznych predmetov. Rovnako ako všetky konvexné mnohosteny, Platónove pevné látky rešpektujú Eulerov vzťah V - A + F = 2, kde V, A a F sú počet vrcholov, hrán a plôch mnohostena.
Aký je vzťah medzi počtom vrcholov a počtom tvárí v kryštáli, ktorého tvar má Platónov polyhedón s trojuholníkovou tvárou?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Rozhodnutie
Alternatíva C. Pretože tváre sú trojuholníkové, vieme, že pre každú tvár sú 3 okraje. Aby sme však vztiahli počet okrajov na počet tvárí, je treba pamätať na to, že každý okraj je obsiahnutý na dvoch tvárach, pretože stretnutie dvoch tvárí tvorí hranu, takže v tomto prípade môžeme spojiť hranu s tvárou za:
Keď máme Eulerov vzťah ako V - A + F = 2 a nahradíme A, musíme:
Otázka 2 - Z nižšie uvedených alternatív posúďte, ktorá z nich nie je Platónovou látkou.
A) Kocka
B) Pravidelný štvorsten
C) Ikosahedrón
D) Dodecahedron
E) Kužeľ
Rozhodnutie:
Alternatíva E. Z alternatív jediný, ktorý nezodpovedá Platónovej masíve, je kužeľ.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm
