porozumenie sady je hlavným základom pre štúdium algebra a koncepty veľkého významu v matematike, ako napr funkcie a nerovnosti. Zápis, ktorý používame pre množiny, je vždy veľké písmeno z našej abecedy (napr. Množina A alebo množina B).
V zmysle reprezentácia množín, dá sa to urobiť Vennov diagram, jednoduchým popisom charakteristík jeho prvkov, ich vymenovaním alebo opísaním ich vlastností. Pri práci s problémami, ktoré zahŕňajú súbory, existujú situácie, ktoré vyžadujú výkon funkcie operácie medzi sériami, sú to únia, križovatka a rozdiel. Budeme to všetko podrobne študovať?
Pozri tiež: Číselné výrazy - naučte sa ich riešiť!
Zápis a znázornenie množín
Na znázornenie množiny vždy používame a veľké písmeno abecedya prvky sú vždy medzi kľúče a sú oddelené čiarkou. Na vyjadrenie množiny párnych čísel väčších ako 1 a menších ako 20 používame napríklad nasledujúcu notáciu: P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
Formy znázornenia množín
reprezentácia enumeráciou: môžeme vymenovať jeho prvky, to znamená vytvoriť zoznam, vždy medzi zloženými zátvorkami. Pozri príklad:
A = {1,5,9,12,14,20}
popisujúce vlastnosti: môžeme jednoducho opísať charakteristiku množiny. Napríklad nech je X množina, máme to, že X = {x je kladné číslo násobkom 5}; Y: je sada mesiacov v roku.
Vennov diagram: množiny môžu byť tiež znázornené vo forme diagramu známeho ako a Vennov diagram, čo je efektívnejšie zastúpenie pre vykonávanie operácií.
Príklad:
Vzhľadom na množinu A = {1,2,3,4,5} ju môžeme reprezentovať v nasledujúcom Vennovom diagrame:
Prvky množiny a členský vzťah
Vzhľadom na akýkoľvek prvok môžeme povedať, že je to prvok patrí do súpravy alebo Nepatrí do tej sady. Na rýchlejšiu reprezentáciu tohto členského vzťahu používame symboly
(čítať ako patriace) a ∉ (čítať ako nepatriace). Napríklad nech je P množina párové čísla, môžeme povedať, že 7 ∉ P a že 12 P.
Rovnosť množín
Porovnanie medzi množinami je nevyhnutné, takže môžeme povedať, že dve množiny sú rovnaké alebo nie, pričom sa skontroluje každý z ich prvkov. Nech A = {0,1,3,4,8} a B = {8,4,3,1,0}, aj keď sú prvky v inom poradí, môžeme povedať, že množiny A a B sú rovnaké: A = B.
Inklúzny vzťah
Pri porovnaní dvoch množín môžeme naraziť na niekoľko vzťahov a jedným z nich je vzťah inklúzia. Pre tento vzťah musíme poznať niektoré symboly:
⊃ → obsahuje ⊂→ je obsiahnutý
⊅ → neobsahuje ⊄→nie je obsiahnutá
Tip: Otváracia strana symbolu bude vždy smerovať k väčšej súprave. |
Keď všetky prvky množiny A patria tiež do množiny B, hovoríme, že A ⊂ B alebo že A je obsiahnutý v B. Napríklad A = {1,2,3} a B = {1,2,3,4,5,6}. Zastúpenie je možné vykonať aj pomocou Vennov diagram, to by vyzeralo takto:
A je obsiahnuté v B:
A ⊂ B
Podmnožiny
Keď inklúzny vzťah, to znamená, že množina A je obsiahnutá v množine B, môžeme povedať, že A je podmnožinou B. Podskupina zostáva súpravou a množina môže mať viac podskupín, postavená z prvkov, ktoré k nej patria.
Napríklad: A: {1,2,3,4,5,6,7,8} má ako podmnožiny množiny B: {1,2,3}; C: {1,3,5,7}; D: {1} a dokonca aj množina A {1,2,3,4,5,6,7,8}, to znamená, že A je jej podmnožinou.
unitárna súprava
Ako už názov napovedá, je to práve táto sada má iba jeden prvok, ako je sada D: {1} zobrazená skôr. Vzhľadom na množinu B: {1,2,3} máme podmnožiny {1}, {2} a {3}, čo sú všetky množinové jednotky.
POZOR: Sada E: {0} je tiež unitárna sada, pretože má jediný prvok „0“ a nejde o prázdnu sadu.
Prečítajte si tiež: Sada celých čísel - prvkov a charakteristík
prázdna sada
S ešte sugestívnejším názvom nemá prázdna množina žiadne prvky a je podmnožinou ktorejkoľvek množiny. Na reprezentáciu prázdnej množiny existujú dve možné reprezentácie, sú to V: {} alebo symbol Ø.
Sady dielov
Ako množiny častí poznáme všetky možné podmnožiny danej množiny. Nech A: {1,2,3,4}, môžeme vymenovať všetky podmnožiny tejto množiny A počnúc množinami, ktoré nemajú žiadne prvky (prázdne) a potom tie, ktoré majú jeden, dva, tri a štyri prvky, resp.
prázdna sada: { };
Súpravy jednotiek: {1}; {2};{3}; {4}.
Súpravy s dvoma prvkami: {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
súpravy s tromi prvkami: {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
Sada so štyrmi prvkami: {1,2,3,4}.
Preto môžeme opísať množinu častí A takto:
P: {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4 }, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4}}
Ak chcete zistiť, koľko častí je možné rozdeliť, použite vzorec:
n [P (A)] = 2č
Počet častí A sa počíta ako a potencia základňa 2 zvýšená na č, na čom č je počet prvkov v množine.
Zvážte množinu A: {1,2,3,4}, ktorá má štyri prvky. Celkový počet možných podmnožín tejto množiny je 24 =16.
Prečítajte si tiež: Aká je množina iracionálnych čísel?
Konečná a nekonečná sada
Pri práci so súpravami nájdeme súpravy, ktoré sú obmedzené (konečné) a tí, ktorí sú neobmedzený (nekonečný). Súbor párne alebo nepárne číslaje napríklad nekonečný a aby sme ho reprezentovali, popíšeme postupne niektoré z jeho prvkov, aby bolo možné predvídať, aké budú ďalšie prvky, a do tohto tvaru vložíme elipsy Konečné.
I: {1,3,5,7,9,11 ...}
P: {2,4,6,8,10, ...}
V konečnej množine však nedávame elipsy na koniec, pretože má definovaný začiatok a koniec.
Odpoveď: {1,2,3,4}.
vesmír nastavený
O vesmír nastavený, označené U, je definovaná ako množina tvorená všetkými prvkami, ktoré sa musia brať do úvahy v rámci problému. Každý prvok patrí do vesmírnej množiny a každá množina je obsiahnutá v vesmírnej množine.
Operácie so súpravami
Operácie so množinami sú: spojenie, križovatka a rozdiel.
Priesečník súprav
Priesečník nastane, keď prvky patria súčasne do jednej alebo viacerých množín. Pri písaní A∩B hľadáme prvky, ktoré patria do množiny A aj množiny B.
Príklad:
Zvážte A = {1,2,3,4,5,6} a B = {2,4,6,7,8}, prvky, ktoré patria do množiny A aj množiny B, sú: A∩B = {2 4,6}. Reprezentácia tejto operácie sa vykonáva nasledovne:
A∩B
Ak množiny nemajú spoločné žiadne prvky, sú známe ako disjunktné množiny.
A∩B = Ø
rozdiel medzi množinami
vypočítať rozdiel medzi dvoma množinami je hľadať prvky, ktoré patria iba do jednej z dvoch množín. Napríklad A - B má ako odpoveď množinu zloženú z prvkov, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B.
Príklad: A: {1,2,3,4,5,6} a B: {2,4,6,7,8}. Upozorňujeme, že A ∩ B = {2,4,6}, takže máme toto:
a) A - B = {1,3,5}
b) B - A = {7,8}
Jednota
Spojením dvoch alebo viacerých súborov je pripájam sa k vašim podmienkam. Ak existujú prvky, ktoré sa opakujú v obidvoch množinách, zapíšu sa iba raz. Napríklad: A = {1,2,3,4,5} a B = {4,5,6,7,10,14}. Na reprezentáciu spojenia používame symbol (znie: Spojenie s B).
A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14}
Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o týchto operáciách a vyskúšať si niekoľko vyriešených cvičení, prečítajte si: Operácie so súpravami.
Morganove zákony
Nech A a B sú dve množiny a U je vesmírna sada, existujú dve vlastnosti, ktoré sú dané Morganovými zákonmi, a to:
(A U B)ç = Aç ∩Bç
(A ∩ B)ç = Aç U Bç
Príklad:
Vzhľadom na súbory:
U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
Odpoveď: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
B: {5.10,15,20}
Poďme to skontrolovať (A U B)ç = Aç ∩Bç. Musíme teda:
A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20}
Preto (A U B)ç={1,3,7,9,11,13,17,19}
Aby sme skontrolovali pravdivosť rovnosti, analyzujme operáciu Aç ∩Bç:
THEç:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
Bç:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19}
Potom, THEç ∩Bç ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}.
(A U B)ç = Aç ∩Bç
vyriešené cviky
01) Zvážte U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} a B: {4,5,6, 7,8,9}. Ukážte, že (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
Rozhodnutie:
1. krok: nájsť (A ∩ B)ç. Na to máme A ∩ B = {4,5,6}, takže (A ∩ B)ç ={1,2,3,7,8,9,10}.
2. krok: nájsťç U Bç. THEç: {7,8,9,10} a Bç: {1,2,3,10}, takže Aç U Bç = {1,2,3,7,8,9,19}.
Ukazuje sa, že (A ∩ B)ç = Aç U Bç.
02) Ak vieme, že A je množina párnych čísel od 1 do 20, aký je celkový počet podmnožín, ktoré môžeme zostaviť z prvkov tejto množiny?
Rozhodnutie:
Nech P je opísaná množina, máme tu P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Preto je počet prvkov P 10.
Podľa teórie množín je počet možných podmnožín P:
210=1024
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky