O Argand-Gaussov plán skladá sa z dvoch osí: jednej vertikálnej (známej ako imaginárna os) a jednej horizontálnej (známej ako skutočná os). To je možné geometricky reprezentovať komplexné číslaktoré sú v algebraickej forme.
Prostredníctvom tohto geometrického znázornenia je to možné rozvíjať niektoré koncepty, ako napríklad modul a argument komplexného čísla. Komplexné čísla sú algebraicky reprezentované z = a + bi, takže sú reprezentované bodkami (a, b), ktoré sa nazývajú prípona.
Prečítajte si tiež: Geometrické znázornenie súčtu komplexných čísel
Geometrické znázornenie komplexných čísel
Komplexná rovina, známa tiež ako Argand-Gaussova rovina, nie je nič iné ako aKarteziánske lietadlo pre komplexné čísla. V rovine Argand-Gauss je možné reprezentovať komplexné číslo ako bodku, známe ako prípona. S vypracovaním komplexného plánu dôjde k vývoj analytická geometria pre komplexné čísla, ktorý umožňuje rozvíjať dôležité pojmy ako modul a argument.
Komplexné číslo predstavované v jeho algebraickej podobe je z = a + bi, na čom The je skutočnou súčasťou a B je imaginárna časť. Preto komplexné čísla sú reprezentované bodkou (a, b). V Argand-Gaussovej rovine je vodorovná os osou skutočnej časti a zvislá os je osou imaginárnej časti.
Pripojiť
O bod v rovine predstavujúci komplexné číslo nazýva sa to aj prípona. Existujú tri možné prípady znázornenia: imaginárne afixy, skutočné afixy a čisté imaginárne afixy.
imaginárne prípony
Prípona je známa ako imaginárna, ak má komplexné číslo a reálna časť a imaginárna časť nenulová. V tomto prípade je príponou bod v ktoromkoľvek zo štyroch kvadrantov v závislosti od hodnôt a, b a ich príslušných znamienok.
Príklad:
Pozrite si znázornenie komplexných čísel z1 = 2 + 3i, z2 = -3 - 4i, z3 = -2 + 2i a z4= 1 - 4i.
Pozri tiež: Vlastnosti zahŕňajúce komplexné čísla
čisté imaginárne prípony
Komplexné číslo je známe ako čisto imaginárne, keď sa vaša skutočná časť rovná nule, to znamená, z = bi. Upozorňujeme, že v tomto prípade je prvá súradnica vždy nulová, takže poďme pracovať s bodmi typu (0, b). Pri značení v rovine Argand-Gauss vždy čistá imaginárna prípona bude bod patriaci k imaginárnej osi, teda k zvislej osi.
Príklad:
Pozrite si znázornenie komplexných čísel z1 = 2i a z2= -3i.
skutočné prípony
Komplexné číslo je klasifikované ako a Reálne číslokeď tvoj imaginárna časť sa rovná nule, to znamená, z = a. V tomto prípade je druhá súradnica vždy nulová, takže budeme pracovať s bodmi typu (a, 0), takže imaginárna časť je nulová a prípony sú obsiahnuté v skutočnej osi komplexnej roviny.
Príklad:
Pozrite si znázornenie komplexných čísel z1 = 2 a z2 = -4.
Modul komplexného čísla
Keď reprezentujeme komplexné číslo, nech P (a, b) je prípona komplexného čísla z = a + bi. Poznáme modul komplexného čísla a vzdialenosť od bodu P k začiatku. Modul komplexného čísla z je reprezentovaný | z |. Na nájdenie hodnoty | z | použijeme Pytagorova veta.
| z | ² = a² + b²
Môžeme tiež zastupovať:
Príklad:
Vypočítajte modul komplexného čísla z = 12 -5i.
| z | ² = 12² + (-5) ²
| z | ² 144 + 25
| z | ² = 169
| z | = √169
| z | = 13
Tiež prístup: Čo sú to racionálne čísla?
argument komplexného čísla
Vieme ako argument komplexného čísla O uhol θ tvorený vektorom OP a reálnou osou. Argument čísla predstavuje arg (z) = θ.
Na zistenie uhla použijeme trigonometrické pomery sínus a kosínus.
Ak chcete zistiť hodnotu argumentu, stačí poznať sínus a kosínus pozri tabuľku hodnôt pre tieto trigonometrické pomery. Pri prijímacích skúškach na túto tému je zvyčajne argumentom a pozoruhodný uhol.
Príklad:
Nájdite argument komplexného čísla z = 1 + i.
Najskôr si spočítajme modul z.
| z | ² = 1² + 1²
| z | ² = 1 + 1
| z | ² = 2
| z | = √2
Ak vieme | z |, môžeme vypočítať sínus a kosínus uhla.
Uhol, ktorý má sínus a kosínus s nájdenými hodnotami, je 45 °.
vyriešené cviky
Otázka 1 - Aký je argument komplexného čísla z = √3 + i?
A) 30. deň
B) 45. deň
C) 60. deň
D) 90 °
E) 120. deň
Rozhodnutie
Alternatíva C.
Vieme, že a = √3 ab = 1, takže:
Otázka 2 - V nasledujúcom komplexnom pláne boli zastúpené niektoré počty. Pri analýze plánu môžeme povedať, že body sú reprezentáciami čistých imaginárnych čísel:
A) M, N a I.
B) P a I.
C) L a G.
D) O, I, G.
E) K, J a L.
Rozhodnutie
Alternatíva B.
Na identifikáciu čistého imaginárneho čísla v komplexnej rovine je potrebné, aby bolo na vrchole zvislej osi, čo sú v tomto prípade body P a I.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/plano-argand-gauss.htm
