Trigonometrický kruh: čo to je, príklady, cvičenia

trigonometrický kruh je kruh s polomerom 1 predstavovaný v Karteziánske lietadlo. V ňom je horizontálna os osou kosínusu a vertikálna os sínusovou. Môže sa tiež nazývať trigonometrický cyklus.

Používa sa na uskutočnenie štúdie trigonometrických pomerov. Pomocou nej je možné lepšie pochopiť hlavné trigonometrické dôvody uhly väčší ako 180 °, menovite: sínus, kosínus a dotyčnica.

Prečítajte si tiež: 4 najčastejšie chyby v základnej trigonometrii

Krok za krokom budujte trigonometrický kruh

Ak chcete zostaviť trigonometrický kruh, používame dve osi, jedna vertikálna a druhá horizontálna, ako karteziánska rovina. Vodorovná os je známa ako kosínusová os, a vertikálna os je známa ako sínusová os.

Vertikálna os je sínusová os a horizontálna os je kosínusová os.

S konštrukciou osí nakreslíme graf kruhu, ktorý má polomer 1.

Trigonometrický kruh označujúci meranie polomeru je 1.

Trigonometrické pomery v kruhu

Pomocou kruhu nájdeme hodnotu sínusový, kosínusový a dotyčnicový, podľa hodnoty uhla. mať v vertikálna os sínusová hodnota a na horizontálnej osi kosínusová hodnota

, určením uhla na trigonometrickom kruhu je možné nájsť hodnotu sínusu a kosínusu analýzou súradnice bodu, kde úsečka spája stred kruhu a obvod, predstavovaný písmenom P na obrázku a nasledovať. Ak nakreslíme dotyčnicu kružnici v bode (1.0), môžeme tangens tohto uhla vypočítať aj analyticky podľa obrázku:

Súradnice bodu P sú P (cosα, sinα).

Prečítajte si tiež: Čo sú sekans, kosekans a kotangens?

Radiány trigonometrického kruhu

Trigonometrický cyklus s mierou v stupňoch

Vieme, že oblúk je možné merať pomocou dvoch rôznych jednotiek merania: miery v stupňoch a miery v radiány. My to vieme obvod je 360 ​​° a že dĺžka vášho oblúka je 2π:

Trigonometrický cyklus merania v radiánoch

Kvadranty trigonometrického kruhu

Či už v radiánoch alebo stupňoch je možné podľa jeho merania definovať kvadrant, v ktorom sa daný oblúk nachádza.

Trigonometrický kruh s vyznačením kvadrantov

Pri analýze cyklu musíme:

• prvý kvadrant: uhly, ktoré sú medzi 0 až 90 ° alebo 0 a π / 2 radiánmi;

• druhý kvadrant: uhly, ktoré sú medzi 90 ° a 180 ° alebo radiány π / 2 a π;

• tretí kvadrant: uhly, ktoré sú medzi 180 ° a 270 ° alebo π a 3 π / 2 radiány;

• štvrtý kvadrant: uhly medzi 270 ° a 360 ° alebo 3π / 2 až 2π radiány.

Prečítajte si tiež: Vlastnosti a vlastnosti plánu

Pozoruhodné uhly v trigonometrickom kruhu

Na začiatku štúdia trigonometria, dozvedeli sme sa, že pozoruhodné uhly sú uhly 30 °, 45 ° a 60 °, ktoré majú hodnotu známeho sínusu, kosínu a dotyčnice. Kvôli symetrii trigonometrického cyklu však je možné nájsť sínusové a kosínusové hodnoty pre tieto uhly a symetrické uhly v každom z kvadrantov.

Sínusové a kosínusové hodnoty pre hlavné uhly trigonometrie

Znaky trigonometrického kruhu

Aby sme pochopili, čo je znakom každého z trigonometrických pomerov v cykle, stačí analyzovať hodnoty osí v karteziánskej rovine.

Začnime kozínom. Pretože ide o vodorovnú os, kosínus uhlov zahrnutých vpravo od zvislej osi je kladný a kosínus uhlov zahrnutých zľava od zvislej osi je záporný.

Kosínus je kladný v 1. a 4. kvadrante a záporný v 2. a 3. kvadrante.

Teraz, aby ste pochopili sínusový znak uhla, nezabudnite, že vertikálna os je sínusová os, takže sínus uhla, ktorý je nad horizontálnou osou, je kladný; ale ak je uhol pod vodorovnou osou, sínus tohto uhla je záporný, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku:

Sínus je pozitívny v 1. a 2. kvadrante a negatívny v 3. a 4. kvadrante.

My to vieme dotyčnica je pomer medzi sínusom a kosínusom, aby sme našli znak dotyčnice pre každý z kvadrantov, hráme hru so znamením, vďaka ktorej je dotyčnica pozitívna v nepárnych kvadrantoch a záporná v párnych kvadrantoch:

Tangenta je kladná v 1. a 4. kvadrante a záporná v 2. a 3. kvadrante.

Prečítajte si tiež: Čo sú polopriame, polorovinné a polopriestorové?

symetria v kruhu

Analýza trigonometrického cyklu, je možné vytvoriť spôsob, ako znížiť sínus, kosínus a dotyčnicu k prvému kvadrantu. Táto redukcia znamená nájsť v prvom kvadrante uhol, ktorý je symetrický s uhlom ostatných kvadrantov, pretože keď pracujeme so symetrickým uhlom, hodnota trigonometrických pomerov je rovnaká a mení sa iba jej signál.

• Zmenšenie uhla, ktorý je v 2. kvadrante do 1. kvadrantu

Počnúc uhlami, ktoré sú v 2. kvadrante, musíme:

Ako vieme, v 1. a 2. kvadrante je sínus pozitívny. Na výpočet redukcie sínusu z 2. kvadrantu do 1. kvadrantu teda použijeme vzorec:

sin x = sin (180º - x)

Kosínus a dotyčnica v 2. kvadrante sú záporné. Na zníženie kosínusu z 2. kvadrantu do 1. kvadrantu použijeme vzorec:

cosx = - cos (180º - x)

tg x = - tg (180º - x)

Príklad:

Aká je hodnota sínusu a kosínusu v uhle 120 °?

Uhol 120 ° je druhý kvadrantový uhol, pretože je medzi 90 ° a 180 °. Aby sme tento uhol zmenšili na 1. kvadrant, vypočítame:

hriech 120 ° = hriech (180 ° - 120 °)

hriech 120º = hriech 60º

60 ° uhol je pozoruhodný uhol, takže je známa jeho sínusová hodnota, takže:

Teraz vypočítajme váš kosínus:

cos 120º = - cos (180 - 120)

cos 120º = - cos 60º

Pretože poznáme kosínus 60 °, musíme:

• Zmenšenie uhla, ktorý je v 3. kvadrante na 1. kvadrante

Rovnako ako v 2. kvadrante existuje symetria medzi uhlami v 3. kvadrante a uhlami v 1. kvadrante.

Sínus a kosínus v treťom kvadrante sú záporné. Aby sme zmenšili sínus a kosínus z 3. kvadrantu do 1. kvadrantu, použijeme vzorec:

sin x = - sin (x - 180º)

cosx = - cos (x - 180 °)

Tangenta v 3. kvadrante je pozitívna. Aby sme to zmenšili, použijeme vzorec:

tg x = tg (x - 180 °)

Príklad:

Vypočítajte sínus, kosínus a dotyčnicu 225 °.

sin 225º = - sin (225º - 180º)

hriech 225º = - hriech 45º

Pretože 45 ° je pozoruhodný uhol, pri pohľade na stôl musíme:

Teraz, keď počítame kosínus, musíme:

tg 225º = tg (225º - 180º)

tg 225º = tg 45º

Vieme, že tg45º = 1, takže:

tg 225º = 1

• Zmenšenie uhla, ktorý je v 4. kvadrante do 1. kvadrantu

S rovnakým odôvodnením ako predchádzajúce redukcie existuje symetria medzi 4. a 1. kvadrantom:

Sínusové a dotyčné hodnoty vo 4. kvadrante sú záporné. Na redukciu zo 4. na 1. kvadrant teda použijeme vzorec:

sin x = - sin (360º - x)

tg x = - tg (360º - x)

Kosínus vo 4. kvadrante je pozitívny. Pre redukciu do 1. kvadrantu teda platí vzorec:

cos x = cos (360º - x)

Príklad:

Vypočítajte hodnotu sínusu a kosínusu 330 °.

Počnúc sínusom:

Teraz sa počíta kosínus:

Prečítajte si tiež: Ako vypočítať vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore?

Cvičenia vyriešené trigonometrickým kruhom

Otázka 1 - Počas štúdia kruhového momentu fyzik analyzoval objekt, ktorý sa otáčal okolo seba a zvieral uhol 15 240 °. Pri analýze tohto uhla sa ním tvorený oblúk nachádza v:

A) kvadrant I.

B) kvadrant II.

C) kvadrant III.

D) kvadrant IV.

E) na jednej z osí.

Rozhodnutie

Alternatíva B.

Vieme, že každých 360 ° tento objekt dokončil kruh okolo seba. Pri výkone rozdelenie z 15 240 na 360, zistíme, koľko úplných otočení tento objekt okolo seba urobil, ale náš hlavný záujem je o zvyšok, ktorý predstavuje uhol, v ktorom sa zastavil.

15.240: 360 = 42,333…

Výsledok ukazuje, že urobil 42 otočení okolo seba, ale 360 ​​· 42 = 15,120, takže opustil uhol:

15.240 – 15.120 = 120º

Vieme, že 120 ° je druhý kvadrantový uhol.

Otázka 2 - Posúďte nasledujúce vyhlásenia:

I → Pri výpočte tg 140 ° bude hodnota záporná.

II → Uhol 200 ° je uhol 2. kvadrantu.

III → Sen 130 ° = hriech 50 °.

Označte správnu alternatívu:

A) Iba ja som falošný.

B) Iba II je nepravdivé.

C) Iba III je nepravdivé.

D) Všetky sú pravdivé.

Rozhodnutie

Alternatíva B.

I → Pravda, pretože uhol 140 ° patrí do 2. kvadrantu, v ktorom je dotyčnica vždy záporná.

II → False, pretože uhol 200 ° je uhol 3. kvadrantu.

III → Pravda, pretože na zmenšenie uhla od 2. do 1. kvadrantu stačí vypočítať rozdiel 180 ° - x, potom:

hriech 130 ° = hriech (180 ° - 130 °)

hriech 130. = hriech 50.

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simetria-no-circulo-trigonometrico.htm