Číselné množiny sú zbierky čísel, ktoré majú podobné vlastnosti. Narodili sa v dôsledku potrieb ľudstva v určitom historickom období. Uvidíme, čo sú zač!
Sada prirodzených čísel
Súbor Prirodzené čísla bolo to prvé, čo bolo počuť. Zrodil sa z jednoduchej potreby počítať, takže jeho prvky sú iba celé čísla a nie záporné.
Sada prirodzených čísel, ktorú predstavuje N, má nasledujúce prvky:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
Sada celých čísel
Súbor celé čísla je rozšírením množiny prirodzených čísel. Vzniká spojením množiny prirodzených čísel so zápornými číslami. Inými slovami, množina celých čísel predstavovaná Z má nasledujúce prvky:
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Sada racionálnych čísel
Súbor racionálne čísla z potreby rozdelenia veličín. Toto je množina čísel, ktorú je možné zapísať ako zlomok. Sada racionálnych čísel, ktorú predstavuje Q, má nasledujúce prvky:
Q = {x ∈ Q: x = a / b, a ∈ Z a b ∈ N}
Vyššie uvedená definícia sa číta takto: x patrí k racionálnym hodnotám, takže x sa rovná The deleno B, s The patriace k celým číslam a B patriace k prírodným.
Inými slovami, ak ide o zlomok alebo číslo, ktoré možno zapísať ako zlomok, potom ide o racionálne číslo.
Čísla, ktoré je možné zapísať ako zlomok, sú:
1 - Všetky celé čísla;
2 - Konečné desatinné miesta;
3 - Periodické desiate.
Konečné desatinné miesta sú tie, ktoré majú konečný počet desatinných miest. Pozerať:
1,1
2,32
4,45
Periodické desatinné miesta sú nekonečné desatinné miesta, opakujú však konečnú postupnosť ich desatinných miest. Pozerať:
2,333333...
4,45454545...
6,758975897589...
Sada iracionálnych čísel
definícia iracionálne čísla závisí od definície racionálnych čísel. Preto všetky čísla, ktoré nepatria do množiny racionálnych, patria do množiny iracionálnych čísel.
Týmto spôsobom je buď číslo racionálne, alebo iracionálne. Nie je možné, aby číslo patrilo do týchto dvoch sád súčasne. Týmto spôsobom je sada iracionálnych čísel komplementárna so sadou racionálnych čísel vo vesmíre reálnych čísel.
Ďalším spôsobom, ako definovať množinu iracionálnych čísel, je nasledovný: Iracionálne čísla sú tie, ktoré č možno napísať vo forme zlomkov. Sú:
1 - Nekonečné desatinné miesta
2 - Korene nie sú presné
Nekonečné desatinné miesta sú čísla, ktoré majú nekonečné desatinné miesta a nejde o periodické desatiny. Napríklad:
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
0,12345678910111213...
π
√2
Sada skutočných čísel
Súbor reálne čísla je tvorený všetkými vyššie spomenutými číslami. Jeho definícia je daná spojením medzi množinou racionálnych čísel a množinou iracionálnych čísel. Túto množinu, ktorú predstavuje R, možno matematicky napísať takto:
R = Q U I = {Q + I}
Ja je množina iracionálnych čísel. Týmto spôsobom sú všetky vyššie spomenuté čísla tiež skutočnými číslami.
Sada komplexných čísel
Súbor komplexné čísla vzniklo z potreby nájsť nereálne korene rovníc stupňa väčšieho alebo rovného 2. Pri pokuse o vyriešenie rovnice x2 + 2x + 10 = 0, napríklad prostredníctvom Bhaskarovho vzorca budeme mať:
X2 + 2x + 10 = 0
a = 1, b = 2 a c = 10
? = 22 – 4·1·10
? = 4 – 40
? = – 36
Aké majú rovnice druhého stupňa? <0 nemá skutočné korene. Na nájdenie ich koreňov bola vytvorená množina komplexných čísel, takže √ – 36 = √36 · (–1) = 6 · √– 1 = 6i.
Prvky množiny komplexných čísel predstavované písmenom C sú definované takto:
z je komplexné číslo, ak z = a + bi, kde a a b sú reálne čísla a i = √– 1.
Vzťah medzi numerickými množinami
Niektoré číselné množiny sú podmnožinami iných. Niektoré z týchto vzťahov boli zdôraznené v celom texte, všetky však budú vysvetlené nižšie:
1 - Sada prirodzených čísel je podmnožinou sady celých čísel;
2 - Množina celých čísel je podmnožinou množiny racionálnych čísel;
3 - Množina racionálnych čísel je podmnožinou množiny reálnych čísel;
4 - Množina iracionálnych čísel je podmnožinou množiny reálnych čísel;
5 - Sada iracionálnych čísel a sada racionálnych čísel nemajú spoločné žiadne prvky;
6 - Sada reálnych čísel je podmnožinou sady komplexných čísel.
Nepriamo je možné nadviazať ďalšie vzťahy. Je možné napríklad povedať, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny komplexných čísel.
Je tiež možné opačne čítať vyššie spomenuté vzťahy a nepriame vzťahy, ktoré je možné vybudovať. K tomu stačí napríklad povedať, že množina celých čísel obsahuje množinu prirodzených čísel.
Pomocou symboliky teórie množín je možné tieto vzťahy zapísať nasledovne:
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
