Na rozdiel od ním vytvorených geometrických útvarov Skóre nemá definíciu. To znamená, že v Geometrii je bod nedefinovaný objekt používaný pri definovaní ďalších objektov. Čiary sú napríklad množiny bodov. Aj keď vyzerajú dobre definované, čiary tiež nemajú žiadnu definíciu, pretože ľubovoľná množina obsahujúca dva alebo viac bodov sa považuje za priamu.
Na druhej strane, v analytickej geometrii sa bod berie ako poloha. Ktorékoľvek miesto môže byť reprezentované bodom a navyše je „adresa“ tohto bodu daná pomocou súradníc.
V analytickej geometrii sú však body schopné označovať iba polohy. Na označenie dráhy, smeru, smeru a intenzity sú potrebné ďalšie objekty. V prípade týchto posledných troch je objektom zvoleným na ich reprezentáciu v karteziánskej rovine vektor.
→ Čo je to Vektor?
Vektory, sú teda predmety, ktoré označujú smer, zmysel a intenzitu. Zvyčajne sú reprezentované šípkami, ktoré začínajú od počiatku, a používajú sa súradnice ich posledného bodu.
Na vyššie uvedenom obrázku sú vektory reprezentované týmto spôsobom, to znamená šípky, ktorých súradnice zodpovedajú ich konečnému bodu. Vektor u má súradnice (2,2) a vektor v má súradnice (4,2). Šípka sa tiež používa na označenie smeru a smeru a jej veľkosť označuje intenzitu.
→ Násobenie vektorov číslom
Vzhľadom na vektor v = (a, b) je súčin skutočného čísla k číslom v daný výrazom:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Inými slovami, na vynásobenie skutočného čísla vektorom musíte vynásobiť skutočné číslo každou z jeho súradníc.
Geometricky vynásobením vektora reálnym číslom sa veľkosť vektora lineárne zvýši:
Všimnite si, že vo vyššie uvedenom príklade má vektor u súradnice (2.2) a vektor u · k má súradnice (4.4). Riešením rovnice (4.4) = k (2.2) môžeme vyvodiť záver, že k = 2.
→ Pridávanie vektorov
Vzhľadom na dva vektory u = (a, b) a v = (c, d) sa súčet medzi nimi získa pomocou výrazu:
u + v = (a + c, b + d)
Inými slovami, stačí spočítať zodpovedajúce súradnice každého vektora. Túto operáciu je možné rozšíriť na súčet 3 alebo viacerých vektorov s 3 alebo viacerými dimenziami.
Geometricky, počnúc koncovým bodom vektora u, je vektor v 'nakreslený rovnobežne s vektorom v. Vychádzajúc z vektora v je vektor u 'nakreslený rovnobežne s vektorom u. Tieto štyri vektory tvoria rovnobežník. Vektor u + v je nasledovná uhlopriečka tohto rovnobežníka:
Na odčítanie vektorov považujte odčítanie za súčet jedného vektora a opaku druhého. Napríklad na odčítanie vektora v od vektora u napíšte: u - v = u + (-v). Vektor -v je vektor v, ale so zmenenými súradnicovými znakmi.
Keď sa pozrieme pozorne, operácie „vynásobenie vektora číslom“ a „pridanie vektorov“ využívajú operácie násobenia a sčítania na reálnych číslach, ale na každej zložke čísla vektor. Preto sú pre vektory platné všetky vlastnosti sčítania a násobenia reálnych čísel, a to:
Vzhľadom na vektory u, v a w a reálne čísla k a l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) existuje vektor 0 = (0,0) taký, že v + 0 = v
iv) Existuje vektor -v taký, že v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Štandard vektora
Norma vektora je ekvivalentom veľkosti reálneho čísla, to znamená vzdialenosťou medzi vektorom a bodom (0,0), alebo v závislosti od referenčného rámca dĺžkou vektora.
Norma vektora v = (a, b) je označená || v || a dá sa vypočítať pomocou výrazu:
|| v || = √ (a2 + b2)
→ Interný produkt
Vnútorný produkt je porovnateľný s produktom medzi vektormi. Upozorňujeme, že vyššie uvedený produkt je produktom medzi vektorom a reálnym číslom. Teraz je predmetný „produkt“ medzi dvoma vektormi. Jeden by však nemal povedať „produkt medzi dvoma vektormi“, ale skôr „vnútorný produkt medzi dvoma vektormi“. Vnútorný súčin medzi vektormi v = (a, b) a u = (c, d) je označený
Je tiež obvyklé používať tento zápis:
Všimnite si, že pomocou normy vektora v = (a, b) môžeme dať do súvislosti normu a súčinový súčin.
|| v || = √ (a2 + b2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm