THE inverzná funkcia, ako už názov napovedá, je funkcia f (x)-1, ktorá robí presne inverznú funkciu f (x). Ak má funkcia podporovať inverziu, musí byť bijektor, to znamená injektor a surjektor súčasne. Zákon formovania inverznej funkcie robí pravý opak toho, čo robí funkcia f (x).
Napríklad ak funkcia berie hodnotu z doména a sčíta 2, inverzná funkcia, namiesto sčítania odčíta 2. nájsť zákon o formovaní inverznej funkcie nie je to vždy ľahká úloha, pretože je potrebné prevrátiť neznáme x a y, ako aj izolovať y v novej rovnici.
Prečítajte si tiež:Funkcia - všetko, čo potrebujete vedieť na zvládnutie učiva
Kedy funkcia podporuje inverziu?
Úloha je nezvratný, to znamená, že má inverznú funkciu, ak a len ak je bijektor. Je dôležité pamätať na to, čo a bijektorová funkcia, čo je funkcia injektor, to znamená, že každý prvok obrázka má jedného korešpondenta domény. To znamená, že rôzne prvky v množine A musia byť spojené s rôznymi prvkami v množina B, to znamená, že nemôžu existovať dva alebo viac prvkov množiny A, ktoré majú rovnaké zodpovedajúce v sada B.
Úloha je surjektívny ak sa obraz rovná protidoméne, to znamená, že v množine B nie je žiadny prvok, ku ktorému by nebol priradený prvok v množine A.
Nech funkcia f: A → B, kde A je doména a B je doména, inverzná funkcia f bude funkcia opísaná f-1 : B → A, to znamená, že doména a pultdoména sú obrátené.
Príklad:
Funkcia f: A → B je bijektívna, pretože je injektívna (koniec koncov, v A sú spojené rôzne prvky odlišné prvky v B) a je to tiež surjektívne, pretože v množine B nezostáva žiadny prvok, to znamená kontradoména je rovnaká ako nastaviť Obrázok.
Preto je táto funkcia invertovateľná a jej inverzná hodnota je:
Ako sa určuje zákon o formovaní inverznej funkcie?
Na nájdenie zákona o formovaní inverznej funkcie potrebujeme zvrátiť neznáme, to znamená nahradenie x za y a y za x a potom izolovanie neznámeho y. Z tohto dôvodu je dôležité, aby bola funkcia invertovateľná, teda bijektor.
→ Príklad 1
Nájdite zákon formovania inverznej funkcie f (x) = x + 5.
Rozhodnutie:
Vieme, že f (x) = y, takže y = x + 5. Vykonaním inverzie x a y nájdeme nasledujúce rovnica:
x = y + 5
Teraz poďme izolovať y:
- 5 + x = r
y = x - 5
Je zrejmé, že ak f (x) pridá 5 k hodnote x, potom jeho inverzná funkcia f (x) - 1 urobí naopak, to znamená x mínus 5.
→ Príklad 2
Ak vezmeme funkciu, ktorej formačný zákon je f (x) = 2x - 3, aký bude formačný zákon jeho inverznej hodnoty?
→ Príklad 3
Vypočítajte zákon formovania inverznej funkcie y = 2X.
Rozhodnutie:
y = 2X
Zmena x na y:
x = 2r
uplatnenie logaritmus na oboch stranách:
log2x = log22r
log2x = ylog22
log2x = y · 1
log2x = r
y = log2X
Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi funkciou a rovnicou
Graf inverznej funkcie
Graf inverznej funkcie f -1 bude vždy symetrický s grafom funkcie f vo vzťahu k priamke y = x, čo umožňuje analyzovať správanie týchto funkcie, aj keď zákon o formovaní inverznej funkcie nemôžeme v niektorých prípadoch opísať, kvôli jeho zložitosť.
Prečítajte si tiež: Ako nakresliť funkciu?
vyriešené cviky
1) Ak f-1 je inverzná funkcia f, ktorá ide od R do R, ktorej zákon formácie f (x) = 2x - 10, číselná hodnota f -1(2) é:
do 1
b) 3
c) 6
d) -4
e) -6
Rozhodnutie:
→ 1. krok: nájsť inverznú hodnotu f.
→ 2. krok: nahradiť 2 namiesto x vo f -1(X).
Alternatíva C.
2) Nech f: A → B je funkcia, ktorej zákon formácie je f (x) = x² + 1, kde A {-2, -1, 0, 1, 2} a B = {1,2,5}, je správne povedať, že:
a) funkcia je invertovateľná, pretože predstavuje bijektor.
b) funkcia nie je invertovateľná, pretože nie je vstrekovaná.
c) funkcia nie je invertovateľná, pretože nie je surjektívna
d) funkcia nie je invertovateľná, pretože nie je ani surjektívna, ani injekčná.
e) funkcia nie je invertovateľná, pretože je bijektorom.
Rozhodnutie:
Aby bola funkcia invertovateľná, musí byť bijektívna, teda surjektívna a injekčná. Najskôr si urobme analýzu, či je to surjektívne.
Aby bola funkcia surjektívna, musia mať všetky prvky B náprotivok v A. Aby sme to vedeli, vypočítajme každú z jeho číselných hodnôt.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Všimnite si, že všetky prvky B {1,2,5} majú korešpondenciu v A, ktorá robí túto funkciu surjektívny.
Aby bola táto funkcia injektívna, prvky odlišné od A musia mať odlišné obrázky v B, čo sa však nestane. Všimnite si, že f (-2) = f (2) a tiež f (-1) = f (1), ktorá robí túto funkciu neinjikuj. Pretože nejde o injektor, nie je tiež invertovateľný; preto alternatíva b.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm