O správny trojuholník dostane toto meno, pretože jeden z jeho uhlov má mieru 90 °, to znamená, že je to pravý uhol. Byť jedným z najviac študovaných polygónov v rovinná geometria, bolo možné vidieť určité vzťahy medzi uhlami a tiež medzi stranami tejto figúry.
O Pytagorova veta, napríklad bolo vyvinuté po zistení, že existuje vzťah medzi meraniami strán trojuholníka. Ak teda poznáme merania dvoch strán trojuholníka, je možné vypočítať hodnotu tretej strany. Pytagorova veta hovorí, že súčet štvorca nôh sa vždy rovná štvorcu prepony.
Okrem Pytagorovej vety bola ďalšou dôležitou oblasťou vyvinutou štúdiami tohto trojuholníka aj trigonometria, v ktorých sú vyvinuté pomery medzi stranami trojuholníka známe ako sínus, kosínus a dotyčnica. Z týchto dôvodov sa zistilo, že existuje pomer medzi meraniami strán pravých trojuholníkov, ktoré majú rovnaké uhly.
Prečítajte si tiež: Aké sú pozoruhodné body trojuholníka?
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
Pravý trojuholník je a
mnohouholník, ktorý má tri stranya tri uhly, a jeden z týchto uhlov je rovný, to znamená, že má 90 °. Ostatné dva uhly sú ostré, to znamená menej ako 90 °. Najdlhšia strana, ktorá je vždy oproti 90 ° uhlu, je známa ako prepona, a ďalšie dva sa volajú zvláštne veci.Pravý trojuholník zachováva všetky známe vlastnosti spoločného trojuholníka, napríklad skutočnosť, že The súčet vnútorných uhlov sa musí rovnať 180 °. Pretože súčet je vždy 180 ° a jeden z jeho uhlov už má 90 °, môžeme povedať, že ďalšie dva uhly sa vždy vzájomne dopĺňajú, to znamená, že ich súčet sa tiež rovná 90 °.
a a b → prsia
c → prepona
Obvod pravého trojuholníka
Obvod ľubovoľného mnohouholníka je dĺžka súčtu všetkých jeho strán. Ak teda chcete vypočítať obvod pravého trojuholníka, stačí pridať jeho strany.
P = a + b + c
oblasť pravouhlého trojuholníka
THE oblasť trojuholníka obdĺžnik, ako aj a trojuholník akýkoľvek, je polovica produktu medzi základňou a výškou. Na pravom trojuholníku je zvláštne to, že jedna z jeho nôh sa zhoduje s jej výškou, pretože sú navzájom kolmé, aby sa mohla vypočítať plocha, nohy vynásobíme a výsledok vydelíme dvoma.
Príklad:
Vypočítajte obvod a plochu pravého trojuholníka nižšie s vedomím, že jeho strany sú uvedené v centimetroch.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Teraz vypočítajme plochu:
Pozri tiež: Výpočet plochy trojuholníka pomocou uhlov
Pytagorova veta
Najznámejšou teorémou v matematike je bezpochyby Pytagorova veta. Z tejto vety bolo vidieť, že strany pravého trojuholníka sú spojené nasledujúcim spôsobom: daný ľubovoľný pravý trojuholník, súčet štvorca nôh sa rovná štvorcu prepočty.
a² + b² = c²
a a b → prsia
c → prepona
Z tejto vety je možné zistiť hodnotu ktorejkoľvek strany pravého trojuholníka, pokiaľ sú známe ďalšie dva.
Príklad:
Aká je hodnota prepony pravého trojuholníka dole s vedomím, že jeho rozmery sú uvedené v centimetroch?
Ak použijeme Pytagorovu vetu, musíme:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x = √ 100
x = 10 cm
Ak sa chcete dozvedieť viac informácií o tomto dôležitom vzťahu, prečítajte si text: TPytagorova veta.
Trigonometria v pravom trojuholníku
Názov trigonometria už odkazuje na predmet jej štúdia:
- tri → tri;
- gono → uhol;
- metriky → metrické alebo merné.
Trigonometria je teda oblasť matematiky, ktorá študuje vzťah medzi meraniami uhlov trojuholníka a tu sa budeme držať pravého trojuholníka. Trigonometria študuje pomer medzi stranami trojuholníka podľa jeho uhol. Vďaka tomu bolo možné vyvinúť dôležité koncepty, ktoré sú dôvodmi sínusový, kosínusový a dotyčnicový. Stojí za zmienku, že ďalšie trigonometrické dôvody boli vyvinuté s prehlbovaním štúdia trigonometrie v trigonometrickom kruhu.
Pred pochopením toho, čo každý z týchto pomerov je, je dôležité pochopiť, čo je opačná strana a čo susedná strana pod uhlom trojuholníka.
Ako sme videli, prepona je strana predstavovaná segmentom AB, pretože je to vždy najdlhšia strana trojuholníka a tiež stranou otočenou o 90 °. Ostatné strany sú známe ako nohy. V závislosti na uhle, ktorý považujeme za referenčný, môže byť strana opačná alebo susedná.
Tvarovka je známa ako opak, keď je otočená smerom k uhlu. Bočný opačný uhol ꞵ je napríklad strana AC; na druhej strane strana, ktorá je protiľahlá k lado, je strana BC.
O pekariát je známy ako susedný keď on tvorí uhol v blízkosti prepony. Upozorňujeme, že uhol ꞵ je medzi stranou BC a AB. Pretože AB je prepona pravého trojuholníka, potom AB je noha susediaca s uhlom ꞵ. S použitím rovnakého uvažovania je možné vidieť, že lado AC je susedná strana uhla ɑ.
Pochopením každej strany trojuholníka je možné pochopiť trigonometrické pomery.
Aby sme mohli použiť trigonometrické pomery, musíme poznať pozoruhodné uhly, to znamená uhly 30 °, 45 ° a 60 °. Väčšina problémov so skúškami a prijímacími skúškami súvisí s týmito uhlami pohľadu, a preto je potrebné poznať hodnoty dôvodov, pre ktoré je každý z nich kladený.
Pozoruhodné uhly nájdete v tabuľke so sínusovými, kosínusovými a dotyčnicovými hodnotami:
Ak poznáme hodnotu trigonometrických pomerov trojuholníka pomocou strany a uhla, je možné z trigonometrie nájsť všetky strany pravého trojuholníka.
Príklad:
Nájdite hodnotu x.
Aby sme zistili hodnotu x, pozrime sa na uhol, ktorý bol daný. Všimnite si, že susedí so stranou, od ktorej poznáme mieru, to znamená, že AC susedí s 30 ° uhlom. Potom použijeme tangensový pomer, ktorý súvisí so susednou stranou a preponou. Pri pohľade na tabuľku tiež vieme, že 30. kosínus sa rovná √3 / 2.
Tiež prístup: 4 najčastejšie chyby v základnej trigonometrii
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - (IFG) Theodolit je presný prístroj na meranie vodorovných a zvislých uhlov, ktorý sa používa pri stavebných prácach. Na vymaľovanie štvorposchodovej budovy bola prijatá spoločnosť. Aby zistila celkovú plochu, ktorá sa má natrieť, musí zistiť výšku budovy. Jedna osoba umiestni prístroj do výšky 1,65 metra a zistí uhol 30 °, ako je to znázornené na obrázku. Za predpokladu, že teodolit je od budovy vzdialený 13√3 metrov, aká je výška budovy, ktorá sa má natrieť, v metroch?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Rozhodnutie
Alternatíva D.
Pretože chceme nájsť stranu oproti 30 ° uhlu, vediac, že vzdialenosť 13√3, ktorá je vzdialenosťou od teodolitu k budove, je stranou susediacou s 30 ° uhlom, preto použijeme dotyčnicu:
Teraz pridáme 13 + 1,65 = 14,65 metra vysoká.
Otázka 2 - Na uskutočnenie výsadby na svojom pozemku farmár rozdelil svoju obrábateľnú pôdu v obdĺžnikovom tvare na polovicu na jej uhlopriečku a vytvoril tak dva pravé trojuholníky. V tejto divízii bude polovica pozemku oplotená drôtom pomocou 4 drôtov. Koľko sa minie na drôty s vedomím, že pozemky majú šírku 20 metrov a dĺžku 21 metrov?
A) 29 metrov
B) 70 metrov
C) 140 metrov
D) 210 metrov
E) 280 metrov
Rozhodnutie
Alternatíva E.
Najprv nájdeme uhlopriečku terénu, ktorá je preponou pravého trojuholníka. Aby sme to uľahčili, urobíme obraz situácie:
Musíme teda:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d = 29
Aby sme to obehli, musíme mať 29 + 20 + 21 = 70 metrov, rovnako ako 4 kolá, 70,4 = 280 metrov.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm