Lineárne systémy: čo sú, ako riešiť, typy

Vyriešiť systémovlineárny je to veľmi častá úloha pre štúdium v ​​odboroch prírodných vied a matematiky. Hľadanie neznámych hodnôt viedlo k vývoju metód riešenia lineárnych systémov, ako je metóda sčítania, rovnosti a substitúcie pre systémy, ktoré majú dve rovnice a dve neznáme, a Crammerovo pravidlo a zmena mierky, ktoré riešia lineárne systémy dvoch rovníc, ale ktoré sú výhodnejšie pre systémy s viacerými rovnicami. Lineárny systém je sada dvoch alebo viacerých rovníc s jednou alebo viacerými neznámymi.

Prečítajte si tiež:Aký je vzťah medzi maticami a lineárnymi systémami?

Lineárne systémy.

lineárna rovnica

Práca s rovnicami existuje kvôli musíte nájsť neznáme neznáme hodnoty. Hovoríme jej rovnica, keď máme algebraický výraz s rovnosťou, a klasifikujeme ju ako lineárnu, keď je najväčší exponent jej neznámych 1, ako je uvedené v nasledujúcich príkladoch:

2x + y = 7 → lineárna rovnica s dvoma neznámymi

a + 4 = -3 → lineárna rovnica s jednou neznámou

Lineárnu rovnicu možno všeobecne opísať:

The₁X₁ +₂X₂ + a3x3... + a_čX_č = c

Systém rovníc poznáme, keď existuje viac ako jedna lineárna rovnica. Začneme lineárnymi systémami dvoch neznámych.

Riešenie lineárnych systémov

• Lineárne systémy s dvoma rovnicami 1. stupňa a dvoma neznámymi

Na riešenie sústavy dvoch rovníc a dvoch neznámych existuje niekoľko metódy, tri najznámejšie sú:

• porovnávacia metóda
• metóda sčítania
• substitučná metóda

Ktokoľvek z troch dokáže vyriešiť lineárny systém dvoch rovníc a dvoch neznámych. Tieto metódy nie sú také efektívne pre systémy s viac rovnicami, pretože existujú aj ďalšie špecifické metódy na ich riešenie.

• Metóda výmeny

Náhradná metóda spočíva v izolovať jednu z neznámych osôb v jednej z rovníc a vykonajte substitúciu v inej rovnici.

Príklad:

1. krok: izolovať jednu z neznámych osôb.

Hovoríme I prvá rovnica a II druhá rovnica. Po analýze týchto dvoch vecí vyberte neznáme, ktoré je najľahšie izolovať. Všimnite si, že v rovnica I → x + 2y = 5, x nemá žiadny koeficient, čo uľahčuje jeho izoláciu, takže prepíšeme rovnicu, ktorá sa mi páči takto:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2r

2. krok: nahradiť I v II.

Teraz, keď máme rovnicu I s x samotným, v rovnici II môžeme x nahradiť 5 - 2y.

II → 3x - 5r = 4

Výmena x za 5 - 2r:

3 (5 - 2r) - 5y = 4

Teraz, keď má rovnica iba jednu neznámu, je možné ju vyriešiť tak, aby sa zistila hodnota y.

Ak poznáme hodnotu y, nájdeme hodnotu x nahradením hodnoty y v rovnici I.

I → x = 5 - 2r

x = 5 - 2,1

x = 5 - 2

x = 3

Riešením systému je teda S = {3,1}.

• Porovnávacia metóda

Metóda porovnania pozostáva z izolovať neznáme z dvoch rovníc a tieto hodnoty vyrovnať.

Príklad:

1. krok: nech som prvou rovnicou a II druhou, izolovajme jednu z neznámych v I a II. Ak sa rozhodneme izolovať neznáme x, musíme:

2. krok: rovná sa dve nové rovnice, pretože x = x.

3. krok: nahraďte hodnotu y číslom -2 v jednej z rovníc.

x = -4 - 3r

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Riešením tohto systému je teda množina S = {2, -2}.

Pozri tiež: Aké sú rozdiely medzi funkciou a rovnicou?

• metóda sčítania

Metóda sčítania spočíva v uskutočnení znásobenia všetkých výrazov jednej z rovníc takým spôsobom, že keď pridajte rovnicu I k rovnici II, jedna z jej neznámych sa rovná nule.

Príklad:

1. krok: vynásobte jednu z rovníc tak, aby boli koeficienty opačné.

Všimnite si, že ak vynásobíme rovnicu II číslom 2, máme 4y v rovnici II a -4y v rovnici I, a to pridáme I + II, máme 0y, takže všetky členy v rovnici II vynásobme 2, takže toto stať sa.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2. krok: vykonajte súčet I + 2 · II.

3. krok: nahraďte hodnotu x = 3 do jednej z rovníc.

• Lineárne systémy s tromi rovnicami 1. stupňa a tromi neznámymi

Keď má systém tri neznáme, prijmeme ďalšie metódy riešenia. Všetky tieto metódy vzťahujú koeficienty k maticiam a najpoužívanejšie metódy sú Crammerovo pravidlo alebo zmena mierky. Pre rozlíšenie v obidvoch metódach je nevyhnutné maticové znázornenie systému vrátane systému 2x2 možno znázorniť pomocou matice. Existujú dve možné reprezentácie, úplná matica a neúplná matica:

Príklad:

Systém 

Môže byť reprezentovaný úplná matica

A pre neúplná matica

• Crammerovo pravidlo

Ak chcete nájsť riešenie pre systém 3x3 s neznámymi x, yaz, použite znak Crammerovo pravidlo, je potrebné vypočítať determinant neúplnej matice a jej variácie. Musíme teda:

D → determinant neúplnej matice systému.

D_X → determinant neúplnej matice systému, nahradenie stĺpca x stĺpcom nezávislých výrazov.

D_r → determinant neúplnej matice systému, nahradením stĺpca y stĺpcom nezávislých výrazov.

D_z → determinant neúplnej matice systému, nahradzujúci stĺpec z stĺpcom nezávislých výrazov.

Aby sme teda našli hodnotu vašich neznámych, najskôr musíme vypočítať určujúci D, D_X, D_r spojené so systémom.

Príklad:

1. krok: vypočítať D.

2. krok: vypočítať D_X.

3. krok: potom môžeme nájsť hodnotu x, pretože:

4. krok: vypočítať D_r.

5. krok: potom môžeme vypočítať hodnotu y:

6. krok: teraz, keď poznáme hodnotu x a y, v obidvoch riadkoch nájdeme hodnotu z dosadením hodnoty x a y a izolovaním z. Ďalšou možnosťou je výpočet D_z.

Nahradenie x = 0 a y = 2 v prvej rovnici:

2x + y - z = 3

2,0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Systémovým riešením je teda tender (0,2, -1).

Tiež prístup: Riešenie problémov rovnicovými systémami

• škálovanie

Ďalším spôsobom riešenia lineárnych systémov je škálovanie, pri ktorom používame iba úplnú maticu a operácie medzi riadkami, aby sme izolovali ich neznáme. Zmenšime systém nižšie.

1. krok: napíš celú maticu, ktorá predstavuje systém.

byť L₁, L₂ a L₃ respektíve riadky 1, 2 a 3 matice, budeme vykonávať operácie medzi L₁ a L₂ a L₁ a L₃, takže výsledkom sú pojmy v prvom stĺpci druhého a tretieho riadku rovné nule.

Pri analýze druhého riadku matice ho nahraďme výsledkom L2 → -2 · L1 + L2, aby sme nulu a21 vynulovali.

The₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

The₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

The₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

The₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Takže L₂ bude 0 -3 7 -17.

Pri analýze tretieho riadku matice ho nahraďme výsledkom L3 → 3L1 + L_2, aby sa výraz nastavil na_31.

The₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

The₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

The₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

The₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Takže L₃ bude 0 8 -8 24.

Všimnite si, že všetky sú deliteľné 8, takže čiara L.₃ aby to bolo jednoduchšie, poďme to vydeliť číslom 8.

Ľ₃ → Ľ₃ : 8 bude: 0 1-1 3.

Nová matica zmenšenej rovnice bude teda:

Teraz je cieľom resetovať stĺpec y v treťom riadku, budeme vykonávať operácie medzi L₂ a L₃s cieľom vynulovania druhého stĺpca jedného z nich.

L3 nahradíme L3 → L₂ + 3 l₃.

The₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

The₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

The₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

The₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Takže L₃ bude: 0 0 4 -8.

Nová zmenšená matica bude:

Keď teraz túto maticu reprezentujeme ako systém a do stĺpcov pridáme x, yaz, nájdeme nasledujúce:

Potom môžeme nájsť hodnotu každej z neznámych. Pri analýze rovnice III musíme:

Ak z = -2, dosadme hodnotu z do druhej rovnice:

Nakoniec v prvej rovnici dosadme hodnotu yaz na hodnotu x.

Pozri tiež: Systém nerovností 1. stupňa - ako to vyriešiť?

klasifikácia lineárneho systému

Lineárny systém je sústava lineárnych rovníc, ktoré môžu mať niekoľko neznámych a niekoľko rovníc. Existuje niekoľko metód, ako to vyriešiť, bez ohľadu na počet rovníc. sú tam tri hodnotení pre lineárny systém.

• Určený možný systém (SPD): keď máte jediné riešenie.
• Neurčený možný systém (SPI): keď má nekonečné riešenia.
• nemožný systém(SI): keď neexistuje riešenie.

Cvičenia vyriešené

Otázka 1 (IFG 2019) Zvážte súčet meraní základne a výšky vzhľadom na túto základňu trojuholníka rovnajúcich sa 168 cm a rozdielu rovných 24 cm. Je správne konštatovať, že rozmery základne a výšky vzhľadom na túto základňu sú:

a) 72 cm a 96 cm

b) 144 cm a 24 cm

c) 96 cm a 72 cm

d) 24 cm a 144 cm

Rozhodnutie

Alternatíva C.

Nech h → výška ab → základňa, potom máme nasledujúci systém:

Metódou pridávania musíme:

Aby sme zistili hodnotu h, dosadme b = 96 cm do prvej rovnice:

b + h = 168

96 + h = 168

h = 168 - 96

v = 72 cm

otázka 2 Neúplná matica, ktorá predstavuje nasledujúci lineárny systém, je:

Rozhodnutie

Alternatíva C.

Neúplná matica je taká, ktorá má koeficienty x, y a z, takže pôjde o maticu 3x3. Pri analýze alternatív, ktorá obsahuje maticu 3x3 so správnymi znakmi, je písmeno C.

Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm