Permutácia s opakovanými prvkami

Permutácia opakujúcich sa prvkov musí mať inú formu ako permutácia, pretože opakované prvky sa navzájom vymieňajú. Postup, ako sa to deje, nájdete v príklade nižšie:
Obmena slova MATEMATIKA by vyzerala takto:
Bez zohľadnenia opakujúcich sa písmen (prvkov) by permutácia vyzerala takto:
P₁₀ = 10! = 3.628.800
Teraz, keď slovo MATEMATIKA obsahuje prvky, ktoré sa opakujú, ako písmeno A, ktoré sa opakuje trikrát, znak písmeno T sa opakuje dvakrát a písmeno M sa opakuje dvakrát, takže permutácia medzi týmito opakovaniami by bola 3!. 2!. 2!. Preto bude permutácia slova MATEMATIKA:

Preto môžeme so slovom MATEMATIKA zostaviť 151200 anagramov.
Po tomto zdôvodnení môžeme dospieť k záveru, že permutácia s opakovanými prvkami sa vo všeobecnosti počíta pomocou nasledujúceho vzorca:
Vzhľadom na permutáciu množiny s n prvkami sa niektoré prvky opakujú n₁ niekedy nie₂ krát a nie_č krát. Potom sa vypočíta permutácia:

Príklad 1:
Koľko anagramov je možné vytvoriť slovom MARAJOARA pomocou permutácie, ktorú budeme mať:

Preto môžeme slovom MARAJOARA vytvoriť 7560 anagramov.
Príklad 2:
Koľko anagramov je možné vytvoriť slovom TALIANSKO pomocou permutácie, ktorú budeme mať:

Takže so slovom TALIANSKO môžeme vytvoriť 3 360 anagramov.
Príklad 3:
Koľko anagramov so slovom BARIÉRA sa dá vytvoriť, ktoré musia začínať písmenom B?
B ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
↓ ↓
1P^2,3₇
1. P^2,3₇ = 7! = 420
2!. 3!
Preto môžeme slovom BARIÉRA vytvoriť 420 anagramov.

od Danielle z Mirandy
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/permutacao-com-elementos-repetidos.htm