Súčet pojmov aritmetickej progresie

Jeden aritmetická postupnosť (PA) je a postupnosť numerické, v ktorom je každý člen súčtom predchádzajúceho a konštanty nazývanej pomer. Existujú matematické výrazy určiť termín PA a vypočítať jeho súčet č prvé termíny.

Vzorec použitý na výpočet súčet termínov konečnej PA alebo súčtu č prvé podmienky PA sú nasledovné:

sč = o1 +č)
2

* n je počet výrazov BP; The1 je prvý termín ač je posledný.

Pôvod súčtu podmienok PO

Hovorí sa, že nemecký matematik Carl Friederich Gauss vo veku približne 10 rokov bol v škole trestaný svojou triedou. Učiteľ povedal študentom, aby spočítali všetky čísla, ktoré sa nachádzajú v postupnosť od 1 do 100.

Gauss nielen vo veľmi krátkom časovom úseku dobehol ako prvý, ale ako jediný dosiahol správny výsledok (5050). Ďalej nepreukázala žiadne výpočty. Urobil opravu tohto majetku:

Súčet dvoch členov v rovnakej vzdialenosti od extrémov konečnej PA sa rovná súčtu extrémov.

Neboli známe žiadne informácie o PAN v tom čase, ale Gauss si prezeral zoznam čísel a uvedomil si, že pridanie prvého k poslednému by malo za následok 101; pridaním druhého k predposlednému by bol výsledok tiež 101 a tak ďalej. Ako súčet všetkých dvojíc výrazov

ekvidištančný z extrémov dosiahol 101, Gauss musel iba vynásobiť toto číslo polovicou dostupných výrazov, aby našiel výsledok 5050.

Upozorňujeme, že od čísla 1 do čísla 100 je presne 100 čísel. Gauss si uvedomil, že ak by ich sčítal dva za dva, získal by 50 výsledkov, čo je 101. Preto sa toto znásobenie uskutočnilo polovicou celkových podmienok.

Ukážka súčtu podmienok PA

Tento počin dal vzniknúť výrazu použitému na výpočet súčet č prvé termíny PA. Na dosiahnutie tohto výrazu bola použitá nasledujúca taktika:

daný PAN akékoľvek, pridáme prvých n jej podmienok. Matematicky budeme mať:

sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č

Tesne pod týmto súhrn podmienok, napíšeme ďalší, s rovnakými výrazmi ako ten predchádzajúci, ale v zmenšujúcom sa zmysle. Upozorňujeme, že súčet výrazov v prvom sa rovná súčtu výrazov v druhom. Preto boli obidve zrovnané so Sč.

sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č

sč =č +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1

Upozorňujeme, že tieto dva výrazy boli získané z jedného výrazu PAN a že ekvidištančné členy sú zarovnané zvisle. Preto môžeme pridať výrazy, aby sme získali:

sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č

+ sč =č +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1

2Sč = (1 +č) + (a2 +n - 1) +... + (an - 1 +2) + (ač +1)

Pamätajte, že súčet členov v rovnakej vzdialenosti od extrémov sa rovná súčtu extrémov. Preto možno každú zátvorku nahradiť súčtom extrémov, ako to urobíme ďalej:

2Sč = (1 +č) + (a1 +č) +... + (1 +č) + (a1 +č)

Gaussovou myšlienkou bolo pridať ekvidištančné členy sekvencie. Získal teda polovičné množstvo termínov PAN vo výsledkoch 101. Urobili sme to tak, že každý člen počiatočného TK bol pridaný k jeho ekvidištančnej hodnote, pričom bol zachovaný jeho počet pojmov. Pretože PA mala n výrazov, môžeme zmeniť sumu vo výraze vyššie vynásobením a vyriešiť rovnica nájsť:

2Sč = (1 +č) + (a1 +č) +... + (1 +č) + (a1 +č)

2Sč = n (a1 +č)

sč = o1 +č)
2

Toto je presne vzorec použitý na pridanie č prvé termíny PA.

Príklad

Vzhľadom na P.A (1, 2, 3, 4) určite súčet jeho prvých 100 výrazov.

Riešenie:

Budeme musieť nájsť výraz a100. Na tento účel použijeme všeobecný výraz vzorec PA:

Theč =1 + (n - 1) r

The100 = 1 + (100 – 1)1

The100 = 1 + 99

The100 = 100

Teraz vzorec na sčítanie prvých n výrazov:

sč = o1 +č)
2

s100 = 100(1 + 100)
2

s100 = 100(101)
2

s100 = 10100
2

s100 = 5050


Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm

Optická ilúzia odhaľuje, ak ste dobrým poradcom

Optická ilúzia odhaľuje, ak ste dobrým poradcom

Si dobrý človek, ktorý vie poradiť? Pripravíme test optická ilúzia v ktorom to, čo vidíte ako prv...

read more

Pedagogické hračky si získavajú obľubu medzi rodičmi a pedagógmi

Veľký počet rodičov hľadá spôsoby, ako vzbudiť u svojich detí záujem o vedu, technológie, inžinie...

read more

10 tipov, ktoré musíte mať pri štúdiu doma

študovať doma Nie je to vždy ľahké, aj keď je to zásadné. Počas toho, ako sa snažíte sústrediť na...

read more