THE finančná matematika je jednou z oblastí matematiky zodpovedných za štúdium javy súvisiace s finančným svetom. Štúdium ich koncepcií je navyše veľmi dôležité, pretože v každodennom živote ich je čoraz viac viac darčekov, napríklad keď pri kúpe niečoho v hotovosti dostaneme zľavu alebo pri kúpe niečoho navyše splátky.
Štúdium finančnej matematiky vyžaduje predchádzajúcu znalosť jazyka percentuálny podiel, uvidíme, že všetky koncepty sú založené na tejto téme.
Prečítajte si tiež:Percentuálny výpočet s pravidlom tri
Na čo slúži finančná matematika?
Finančná matematika sa používa každý deň, napríklad keď ideme nakupovať v hotovosti a predajca ponúka a zľava 5% z hodnoty produktu, alebo keď sa rozhodneme kúpiť produkt na splátky a v tomto procese a úroková sadzba je fakturovaná kupujúcemu v priebehu času.
Uvádza sa príklad dôležitosti porozumenia pojmom finančná matematika limit prečerpania. Pri otvorení účtu v určitej banke sa ponúkajú „peniaze navyše“, napríklad v prípade núdze. Pri použití tohto limitu alebo jeho časti je však okrem odobratých peňazí účtovaný aj poplatok, ktorý sa má zaplatiť neskôr. Táto sadzba sa nazýva úroková sadzba a vďaka lepšiemu pochopeniu týchto konceptov môžeme navrhnúť lepšiu stratégiu riadenia našich financií.
Príklad 1
Na dokončenie platenia svojich mesačných účtov človek potrebuje 100 realís, celý svoj plat však už minul na ďalšie účty. Pri analýze táto osoba zistila, že má dve možnosti.
možnosť 1 - Využite limit povoleného prečerpania, ktorý ponúka banka, vo výške 0,2% za deň, splatný do jedného mesiaca.
Možnosť 2 - Získajte 100 realít od priateľa so sadzbou 2% mesačne s výplatou za dva mesiace.
Vychádzajúc len zo znalosti percenta, poďme analyzovať, ktorá je najlepšia voľba.
analyzovanie možnosť 1, Všimnite si, že sadzba 0,2% je účtovaná za deň, to znamená, že 0,2% z výšky úveru sa pripočítava každý deň, napríklad takto:
Ako musí byť pôžička splatená za jeden mesiac a vzhľadom na mesiac s 30 dní, výška úroku, ktorý sa má zaplatiť, je:
0,2 ·30
6
Môžeme teda dospieť k záveru, že suma, ktorá sa má zaplatiť na konci mesiaca, je:
100 + 6= 106 reais
100 → Suma požičaná bankou
6 → Výška úroku
Teraz sa analyzuje možnosť 2, účtovaný poplatok je 2% mesačne a musí byť zaplatený do dvoch mesiacov, to znamená každý mesiac, k dlhu sa pripočítajú 2% z požičanej sumy, napríklad takto:
Upozorňujeme, že k výške dlhu je potrebné pripočítať 2 realy mesačne:
2 · 2 = 4
Preto suma, ktorá sa má zaplatiť na konci obdobia, je:
100+ 4 = 104 reais
100 → Suma požičaná priateľom
4 → Výška úroku
Môžeme teda dospieť k záveru, že najlepšou možnosťou je vziať si peniaze s priateľom. Je to jednoduché a dôležité aplikácia finančnej matematikySamozrejme existujú sofistikovanejšie problémy, nástroje a koncepty, ale rovnako ako všetko v živote, aj predtým, ako pochopíte zložitú časť, je potrebné porozumieť základom.
Základy finančnej matematiky
Hlavné koncepty finančnej matematiky zahŕňajú predchádzajúce znalosti o percentách. Ďalej uvidíme pojmy ako sčítanie, zľava, jednoduchý úrok a zložený úrok.
dodatok
Myšlienka pridania je spojená s pridať alebo pridať časť hodnoty k pôvodnej hodnote, to znamená, že k sebe pridáme percento určitej hodnoty. Pozrite si príklad:
Príklad 2
Cena produktu bola 35 rokov, s nárastom dolára sa zvýšila o 30%. Určite novú hodnotu pre tento produkt.
Často, keď ideme robiť výpočty súvisiace s pridaním, vykonajú sa nesprávne napísaním:
35 + 30%
Percento predstavuje súčasť niečoho, takže aby bol tento účet správny, musíme najskôr vypočítať 30% počiatočnej hodnoty, v tomto prípade 35. Takto:
35 + 30% z 35
Najprv vyriešime percento a potom sčítame hodnoty, ktoré budeme musieť:
Preto s dodatkom bude hodnota v produkte 45,5 reais (štyridsaťpäť reais a päťdesiat centov).
Všeobecne môžeme odvodiť a vzorec na doplnenie. Zvážte hodnotu x a to, že podlieha zvýšeniu o p%. Podľa toho, čo sme práve definovali, môžeme tento dodatok napísať nasledovne:
x + p% z x
Pri rozvíjaní tohto výrazu budeme musieť:
Zopakujme si príklad 2 pomocou vyššie uvedeného vzorca. Upozorňujeme, že x = 35 a nárast bol 30%, to znamená p = 30%.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
Upozorňujeme, že bola získaná rovnaká hodnota a je možné použiť takýto vzorec.
Pozri tiež: Naopak
Zľava
Myšlienka zľavy je podobná myšlienke pridania, rozdiel je iba v tom, že namiesto pridávania by sme mali odčítať percento pôvodnej sumy.
Príklad 3 - Produkt, ktorý stojí 60 dolárov, má pri kúpe v hotovosti zľavu 30%. Určite novú hodnotu pre tento produkt.
Podobne ako v doplnku budeme musieť:
Analogicky k dodatku môžeme odvodiť a vzorec na zľavu. Zvážte hodnotu xa to, že bude mať zľavu p%. Podľa toho, čo sme definovali, môžeme tento dodatok napísať nasledovne:
x - p% z x
Pri rozvíjaní tohto výrazu budeme musieť:
Zopakujme príklad 3 pomocou vyššie uvedeného vzorca. Všimnite si, že x = 60 a nárast bol 30%, to znamená p = 30%.
x · (1 - 0,01 p)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
Vidíme, že pomocou vzorca sme dostali rovnaký výsledok, takže v zľave máme aj dve možnosti, ako to určiť.
jednoduchý záujem
Myšlienka za jednoduchý záujem Je to tiež podobný myšlienke pridania, rozdiel medzi nimi je daný obdobím, v ktorom sa počítajú. Zatiaľ čo sa sadzba príplatku uplatňuje jednorazovo, jednoduchá úroková sadzba je vypočítané v časovom intervale. Môžeme vypočítať jednoduchý úrok daného kapitálu C, aplikovaný pri danej sadzbe v jednoduchom úrokovom režime (i), v danom časovom období t, z vzorec:
J = C · i. T
Čiastka vyplatená na konci tejto investície musí byť daná použitými peniazmi plus suma úroku a nazýva sa suma (M). Suma je daná výrazom:
M = C + J
M = C + C · i · t
M = C (1 + to)
Jediné znepokojenie, ktoré by sme mali mať v súvislosti s problémami jednoduchého záujmu, je sadzby a časové jednotky, musia byť vždy v rovnakých jednotkách.
Príklad 4
Marta chce investovať 6 000 R $ do spoločnosti, ktorá sľubuje generovanie ziskov 20% ročne v režime jednoduchého úroku. V zmluve, ktorú uzavrela Marta, sa uvádza, že peniaze môže vyberať až po šiestich mesiacoch, pričom určí, aká bola návratnosť jej peňazí na konci tohto obdobia.
Pri pozorovaní výroku vidíme, že kapitál sa rovná 6000, takže máme C = 6000. Úroková sadzba je 20% ročne a peniaze sa budú investovať šesť mesiacov. Upozorňujeme, že sadzba bola uvedená v roku a v mesiacoch, a vieme, že merná jednotka pre oba musí byť rovnaká. Nájdeme mesačný poplatok, pozri:
Vieme, že sadzba je 20% ročne, keďže rok má 12 mesiacov, takže mesačná sadzba bude:
20%: 12
1,66% mesačne
0,016 mesačne
Nahradením týchto údajov vo vzorci musíme:
J = C · i. T
J = 6000 · 0,016 · 6
J = 96,6
J = 576 reais
Preto je suma, ktorá sa má vybrať na konci šiestich mesiacov, 576 reaisov a táto suma je:
M = 6000 + 576
M = 6576 reais
čítaj viac: Pochopenie použitia a çalkulátor ffinančné
Zložený úrok
V prípade jednoduchého úroku sa hodnota úrokovej sadzby vždy počíta nad počiatočný kapitál, teda rozdiel medzi nimi tieto dva systémy (jednoduchý a zložený úrok) sú presne v tomto okamihu, to znamená spôsobom, akým je sadzba vypočítané. V zloženom úroku úroková sadzba sa vždy počíta k istine z predchádzajúceho mesiaca, toto spôsobí, že úrok exponenciálne zvýši svoju hodnotu. THE vzorec na výpočet úroku v systéme amortizácie zloženého úroku je dané:
M = C · (1 + i)t
Na čom M je nahromadená suma, Ç je hodnota počiatočného kapitálu, i je úroková sadzba uvedená v percentách a t je obdobie, v ktorom bol kapitál investovaný do systému. Rovnako ako v prípade jednoduchého úroku, aj v systéme zloženého úroku musí byť sadzba a čas v rovnakej jednotke.
Príklad 5
Vypočítajte sumu, ktorú by Marta vyzbierala na konci šiestich mesiacov, a to tak, že svojich 6000 reai použije pri úrokovej sadzbe 20% ročne v systéme zloženého úroku.
(Dané: 1.20,5 ≈ 1,095)
Upozorňujeme, že údaje sú rovnaké ako v príklade 4, takže musíme:
C = 6000
i = 0,2 p.a.
t = 0,5 roka
Nahradením údajov vo vzorci zloženého úroku musíme:
M = 6000 · (1 + 0,2)0,5
M = 6000 · (1,2)0,5
M = 6000 · 1 095
M = 6572,67 reais
Preto je suma, ktorú si má Marta vybrať v systéme jednoduchého úroku, 6572 67 reais. Upozorňujeme, že suma v zloženom úrokovom systéme je vyššia ako v jednoduchom úrokovom systéme, čo sa vyskytuje vo všetkých prípadoch. Ak chcete lepšie pochopiť, ako sa táto sadzba počíta, navštívte stránku: Poplatky çopakty.
vyriešené cviky
Otázka 1 - (FGV - SP) Kapitál aplikovaný na jednoduchý úrok vo výške 2,5% mesačne, sa strojnásobí o:
a) 75 mesiacov
b) 80 mesiacov
c) 85 mesiacov
d) 90 mesiacov
e) 95 mesiacov
Rozhodnutie
Alternatíva B.
Musíme nájsť čas, keď sa úrok bude rovnať 2C, pretože s takýmto úrokom spolu s pôvodne použitým kapitálom C budeme mať sumu 3C (trojnásobok kapitálu). Takto:
J = 2C; C = C; i = 2,5% mesačne; t =?
J = C · i. T
2C = C 0,025 t
Doba pre zdvojnásobenie tohto kapitálu je teda 80 mesiacov.
Poznámka: 80 mesiacov sa rovná 6,6 rokov.
otázka 2 - U komodity sa po zvýšení o 24% zmenila cena na 1041,60 reais. Pred pridaním určite množstvo.
Rozhodnutie
Pomocou všeobecného vzorca pridania môžeme určiť hodnotu tovaru pred pridaním.
x · (1 + 0,01 p)
Vo vzorci je hodnota x to, čo hľadáme, a p je hodnota pridania a tento výraz nám dáva hodnotu produktu po pridaní, teda:
1041,60 = x · (1 + 0,01 p)
1041,60 = x · (1 + 0,01 · 24)
1041,60 = x · (1 + 0,24)
1041,60 = x · 1,24
Vidíme, že máme rovnicu prvého stupňa, aby sme ju vyriešili, musíme izolovať neznáme x x rozdelením oboch strán rovnosti o 1,24 alebo jednoducho prejsť delením 1,24. Takto:
Preto bola hodnota tovaru pred pridaním 840 reais.
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm