Zvážte polynomiálna rovnica nižšie, kde sú všetky koeficienty Thečsú celé čísla:
ThečXč +n-1Xn-1 +n-2Xn-2 +... +2X2 +1x + a0 = 0
O Rational Roots Theorem zaručuje, že ak táto rovnica pripúšťa racionálne číslo P/čo ako koreň (s P
, čo 
a mdc (p, q) = 1), potom The0 je deliteľné P a Theč je deliteľné čo.
Komentáre:
1º) Veta o racionálnych koreňoch nezaručuje, že polynomiálna rovnica má korene, ale ak existujú, veta nám umožňuje identifikovať všetky korene rovnice;
2º) ak Theč= 1 a ostatné koeficienty sú celé čísla, rovnica má iba celé čísla.
3°) ak q = 1 a existujú racionálne korene, sú to celé a rozdeľovače The0.
Aplikácia vety Rational Roots:
Použime vetu na nájdenie všetkých koreňov polynomiálnej rovnice 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
Najskôr identifikujme možné racionálne korene tejto rovnice, teda korene formy P/čo. Podľa vety, The0 je deliteľné P; týmto spôsobom, ako The0 = 12, potom možné hodnoty P sú {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogicky musíme Theč je deliteľné čo a Theč = 2, potom
čo môže mať nasledujúce hodnoty: {± 1, ± 2}. Preto delenie hodnôt P za čo, dostaneme možné hodnoty P/čo korene rovnice: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.Aby sme potvrdili, že hodnoty, ktoré sme našli, sú skutočne koreňom polynomiálnej rovnice, dosadme každú hodnotu namiesto X rovnice. Skrz algebraický počet, ak polynom vedie k nula, takže nahradené číslo je vlastne koreňom rovnice.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
Pre x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
Pre x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Pre x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
Pre x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
Pre x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
Pre x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
Pre x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
Pre x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
Pre x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
Pre x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
Pre x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
Pre x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
Pre x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
Pre x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
Pre x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
Pre x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Preto korene polynomiálnej rovnice 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 oni sú {– 3, – 2, ½, 2}. Skrz veta o polynomiálnom rozklade, mohli by sme túto rovnicu napísať ako (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Autor: Amanda Gonçalves
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm