Polygóny sú obrázky plochá geometria a uzavreté tvorené rovné segmenty. Polygóny sú rozdelené do dvoch skupín, konvexný a nie konvexné. Keď má mnohouholník všetky strany rovnaké, a teda všetky uhly vnútorná rovnosť, je to mnohouholník pravidelné. Pravidelné mnohouholníky možno pomenovať podľa počtu ich strán.
Pozri tiež: Konštrukcia opísaných polygónov
Prvky mnohouholníka
Polygón je plochý, uzavretý útvar, ktorý je tvorený spojením konečného počtu priamych segmentov. Zvážte teda akýkoľvek polygón:
Body A, B, C, D, E, F, G a H sú vrcholy polygónu a sú tvorené stretnutím segmentov AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH a HA, tzv. bočné strany mnohouholníka.
Segmenty AF, AE, AD a BG sú uhlopriečky mnohouholníka. (Upozorňujeme, že toto je niekoľko príkladov uhlopriečok, v predchádzajúcom mnohouholníku ich máme viac.) Uhlopriečky sú úsečky, ktoré „spájajú“ vrcholy mnohouholníka.
Nomenklatúra mnohouholníka
Polygóny môžeme pomenovať podľa nich počet strán. V nasledujúcej tabuľke nájdete názvy hlavných mnohouholníkov.
Počet strán (n) |
Nomenklatúra |
3 |
trojuholník |
4 |
štvoruholník |
5 |
Pentagón |
6 |
Šesťhran |
7 |
Heptagon |
8 |
Osemuholník |
9 |
Enneagon |
10 |
Desatoro |
11 |
Undecagon |
12 |
Dodekagón |
15 |
Pentadekagón |
20 |
Icosagon |
Upozorňujeme, že stôl nie je potrebné zdobiť, ale pochopiť. S výnimkou trojuholníka a štvoruholníka je tvar slova:
Počet strán + gono
Napríklad, keď máme mnohouholník päť strán, automaticky si zapamätá predponu penta plus prípona gono: Pentagón.
Príklad
Určte názov nasledujúceho mnohouholníka:
polygónová klasifikácia
Polygóny sú klasifikované podľa miera vašich uhlov a bočné strany. Polygón sa považuje za rovnostranný, keď má rovnaké strany, to znamená, že všetky strany sú rovnaké; a bude sa nazývať rovný uhol, keď má rovnaké uhly, to znamená všetky rovnaké uhly.
Ak je mnohouholník rovnostranný a rovnoramenný, bude to a pravidelný mnohouholník.
V každom pravidelnom mnohouholníku je stred v rovnakej vzdialenosti od strán, to znamená, že je rovnako vzdialený od strán. Stred mnohouholníka je tiež stredom kruhu vpísaného do mnohouholníka, to znamená obvod ktorý je „vnútri“ po obvode.
Čítaj viac: Podobnosť mnohouholníka: zistite, aké sú podmienky
Súčet vnútorných uhlov mnohouholníka
Byťi vnútorný uhol pravidelného n-stranného mnohouholníka, budeme predstavovať súčet týchto vnútorných uhlov pomocou Si.
Súčet vnútorných uhlov je teda daný:
si = (n - 2) · 180 °
Na výpočet hodnoty každého vnútorného uhla stačí vziať súčet vnútorných uhlov a vydeliť počtom strán, tj:
Thei = si
č
Príklad 1
Určte súčet vnútorných uhlov a potom mieru každého vnútorného uhla ikozagónu.
Vieme, že ikozagón má dvadsať strán, takže n = 20. Vo vzťahoch máme:
si = (n - 2) · 180 °
si = (20 - 2) · 180°
si = 18 · 180°
si = 3240°
Teraz, aby ste určili hodnotu každého vnútorného uhla, stačí vydeliť nájdenú hodnotu počtom strán:
Thei = 3240°
20
Thei = 162°
Príklad 2
Súčet vnútorných uhlov pravidelného mnohouholníka je 720 °, nájdite mnohouholník.
Nahradením informácií o vyhlásení vo vzorci máme:
720 ° = (n - 2) · 180 °
720 ° = 180 n - 360 °
180n = 720 ° + 360 °
180n = 1080 °
n = 1080°
180°
n = 6 strán
Požadovaným polygónom je teda šesťuholník.
Súčet vonkajších uhlov mnohouholníka
Súčet vonkajších uhlov mnohouholníka je vždy rovných 360 °.
sa = 360°
Thea = sa
č
Thea = 360°
č
Polygónové uhlopriečky
Zvážte mnohostranný polygón. Na určenie počtu uhlopriečok (d) použijeme nasledujúci vzťah:
d = n · (n - 3)
2
Príklad
Určte počet uhlopriečok v päťuholníku a nakreslite ich do grafu.
Vieme, že päťuholník má päť strán, takže n = 5. Nahradením výrazu musíme:
d = 5 · (5 - 3)
2
d = 5 · 2
2
d = 5
Plocha a obvod polygónov
O obvod polygónov je definované suma zo všetkých strán. Plocha mnohouholníka sa počíta tak, že sa mnohouholník rozdelí na čísla, ktoré umožňujú ľahšie vypočítať plochu, napríklad trojuholník a štvorec.
THEΔ = základňa · výška
2
THEnámestie = základňa · výška
Príklad
Určte matematický výraz, ktorý predstavuje oblasť pravidelného šesťuholníka.
Riešenie:
Spočiatku zvážte pravidelný šesťuholník a všetky úsečky, ktoré spájajú stred mnohouholníka s každým vrcholom. Takto:
Všimnite si, že vzhľadom na to, že šesťuholník je pravidelný, pri jeho delení nájdeme šesť trojuholníky rovnostranný, takže plocha šesťuholníka je šesťnásobkom plochy rovnostranného trojuholníka, to znamená:
THEšesťuholník = 6 · AΔ
THEšesťuholník = 6 l2 · √3
4
THEšesťuholník = 3 l2 · √3
2
THEšesťuholník = 3 l2·√3
2
Prečítajte si tiež:oblasť rovnostranného trojuholníka
vyriešené cviky
Otázka 1 - (Enem) Kaluž má tvar pravidelného mnohouholníka, ktorého vnútorný uhol je tri a pol násobok vonkajšieho uhla. Aký je súčet vnútorných uhlov mnohouholníka, ktorého tvar je rovnaký ako tento pool?
a) 1 800 °
b) 1620
c) 1440 °
d) 1260 °
e) 1080 °
Riešenie
Pretože nepoznáme počet strán mnohouholníka, predstavme si iba jeden z vrcholov tohto mnohouholníka.
Z obrázku vidíme, že:
Thei +a = 180 ° (I)
Z vyhlásenia máme, že:
Thei = 3,5 · aa (II)
Dosadením rovnice (II) do rovnice (I) budeme musieť:
3,5 · aa +a = 180°
4,5 · aa = 180°
Thea = 180°
4,5
Thea = 40°
Vieme však, že vnútorný uhol je vydelením 360 ° počtom strán mnohouholníka. Takto:
Thea = 360°
č
40° = 360°
č
40n = 360 °
n = 360°
40°
n = 9
Súčet vnútorných uhlov bazénu je preto:
si = (n - 2) · 180 °
si = (9 - 2) · 180°
si = 7 · 180°
si = 1260°
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
