O objem kužeľa sa vypočíta, keď základnú plochu a výšku vynásobíme a vydelíme tromi. Toto je jeden z výpočtov, ktoré možno v tejto súvislosti vykonať geometrické teleso, klasifikované ako okrúhle teleso, pretože je tvorené kruhovou základňou alebo pretože je vytvorené rotáciou a trojuholník.
Prečítajte si tiež: Aké sú merania objemu?
Súhrn objemu kužeľa
Na výpočet objemu kužeľa je potrebné poznať merania polomeru a výšky základne.
Objem kužeľ sa vypočíta podľa vzorca:
\(V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}\)
Keďže základňa kužeľa je kruh, na výpočet plochy základne kužeľa používame vzorec plochy kruhu, t.j. \(A_b=\pi r^2\).
Video lekcia o objeme kužeľa
Aké sú prvky kužeľa?
Kužeľ je známy ako okrúhle teleso alebo pevné rotačné teleso, pretože má základňu tvorenú kruhom. Toto geometrické teleso je celkom bežné v našom každodennom živote, používa sa napríklad v premávke na signalizáciu oblasti, kde autá nemôžu prejsť. Kužeľ má tri dôležité prvky: výšku, základňu a vrchol.
Aký je vzorec pre objem kužeľa?
Objem kužeľa sa vypočíta podľa produktu medzi plochou základne a výškou vydelenou tromi, to znamená, že sa dá vypočítať podľa vzorca:
\(V=\frac{A_b\cdot h}{3}\)
V: objem
AB: základná plocha
h: výška kužeľa
Ukazuje sa, že Oblasť základne nie je vždy známa. V tomto prípade, keďže základňu kužeľa tvorí kruh, môžeme na výpočet plochy základne použiť vzorec pre oblasť kruhu. Inými slovami, v kuželi sa plocha základne vypočíta podľa \(A_b=\pi r^2\), čo nám umožňuje vypočítať jeho objem pomocou vzorca:
\(V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}\)
V: objem kužeľa
r: polomer základne
h: výška kužeľa
Ako sa vypočíta objem kužeľa?
Ak chcete vypočítať objem kužeľa, Je potrebné nájsť hodnoty jeho výšky a polomeru. Keď poznáte tieto údaje, jednoducho nahraďte hodnoty vo vzorci objemu kužeľa a vykonajte potrebné výpočty.
Príklad 1:
Vypočítajte objem kužeľa, ktorý má polomer 5 cm a výšku 12 cm.
Rozhodnutie:
My to vieme:
r = 5 cm
v = 12 cm
Nahradenie do vzorca:
\(V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}\)
\(V=\frac{\pi\cdot5^2\cdot12}{3}\)
\(V=\frac{\pi\cdot25\cdot12}{3}\)
\(V=\frac{300\pi}{3}\)
\(V=100\pi cm^3\)
Príklad 2:
Vypočítajte objem nasledujúceho kužeľa pomocou 3.1 ako aproximácie pre hodnotu π.
Rozhodnutie:
Údaje sú:
r = 6 cm
v = 12 cm
π = 3,1
Výpočet objemu kužeľa:
\(V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}\)
\(V=\frac{3,1\cdot6^2\cdot12}{3}\)
Pozri tiež: Ako sa vypočíta objem valca?
Vyriešené cvičenia na objeme kužeľa
Otázka 1
Bola vybudovaná nádrž v tvare kužeľa. S vedomím, že má základný priemer 8 metrov a výšku 5 metrov, s π = 3, objem tejto nádrže je:
A) 12 m³
B) 15 m³
C) 18 m³
D) 20 m³
E) 22 m³
Rozhodnutie:
Alternatíva D.
Ak vezmeme do úvahy, že priemer základne je 8 metrov a polomer je polovica priemeru:
r = 8: 2 = 4 m
Ďalšia informácia je, že h = 5 a π = 3.
Výpočet objemu kužeľa:
\(V=\frac{\pi r\cdot h}{3}\)
\(V=\frac{3\cdot4\cdot5}{3}\)
\(V=4\cdot5\)
\(V=20\ m^3\)
Otázka 2
Balenie v tvare kužeľa musí mať objem 310 m³. Keďže výška tohto balíka je 12 cm, jeho polomer musí byť: (Použite 3.1 ako približnú hodnotu π)
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Rozhodnutie:
Alternatíva C
Údaje sú také, že V = 310, h = 12 a π = 3,1.
Nahradením známych hodnôt do objemového vzorca:
\(V=\frac{\pi r^2\cdot h}{3}\)
\(310=\frac{3,1\cdot r^2\cdot12}{3}\)
\(310\cdot3=3,1\cdot r^2\cdot12\)
\(930=37,2r^2\)
\(\frac{930}{37,2}=r^2\)
\(25=r^2\)
\(r=\sqrt{25}\)
\(r=5\ cm\)
Preto musí byť polomer 5 cm.
