K operácie so súpravami sú to spojenie, prienik a rozdiel. Výsledkom každej z týchto operácií je nový súbor. Na označenie spojenia medzi množinami používame symbol ∪; pre priesečník symbol ∩; a na rozdiel, symbol odčítanie\(-\). V prípade rozdielu je nevyhnutné dodržať poradie, v ktorom bude operácia vykonaná. Inými slovami, ak sú A a B množiny, potom je rozdiel medzi A a B odlišný od rozdielu medzi B a A.
Prečítajte si tiež: Vennov diagram — geometrické znázornenie množín a operácií medzi nimi
Súhrn operácií so súbormi
Operácie s množinami sú: spojenie, prienik a rozdiel.
Zjednotenie (alebo stretnutie) množín A a B je množina A ∪ B, tvorená prvkami, ktoré patria do A alebo patria do B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ alebo\ x∈B\}\)
Priesečníkom množín A a B je množina A ∩ B tvorená prvkami, ktoré patria do A a patria do B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ a\ x∈B\}\)
Rozdiel medzi množinami A a B je množina A – B, tvorená prvkami, ktoré patria do A a nepatria do B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Ak U (známa ako vesmírna množina) je množina, ktorá obsahuje všetky množiny v danom kontexte, potom rozdiel U – A s A ⊂ U sa nazýva doplnok A. Doplnok A je tvorený prvkami, ktoré do A nepatria a je reprezentovaný
Aw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Video lekcia o operáciách s množinami
Aké sú tri operácie s množinami?
Tri operácie so súpravami sú: spojenie, prienik a rozdiel.
Spojenie množín
Zjednotenie (alebo stretnutie) množín A a B je množina A ∪ B (čítaj „Zväz B“). Táto sada sa skladá zo všetkých prvkov, ktoré patria do sady A alebo patria do množiny B, tj prvky, ktoré patria aspoň do jednej zo sád.
Reprezentujúc prvky A ∪ B x, píšeme
\(A∪B=\{x; x∈A\ alebo\ x∈B\}\)
Na obrázku nižšie je oranžová oblasť nastaviť A ∪B.
Zdá sa to ťažké? Pozrime sa na dva príklady!
Príklad 1:
Aká je množina A ∪ B, ak A = {7, 8} a B = {12, 15}?
Množinu A ∪ B tvoria prvky, ktoré patria do A alebo patrí B. Keďže prvky 7 a 8 patria do množiny A, potom oba musia patriť do množiny A ∪ B. Okrem toho, keďže prvky 12 a 15 patria do množiny B, potom oba musia patriť do množiny A ∪ B.
preto
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Všimnite si, že každý z prvkov A∪B patrí buď do množiny A, alebo do množiny B.
Príklad 2:
Uvažujme množiny A = {2, 5, 9} a B = {1, 9}. Čo je množina A ∪ B?
Keďže prvky 2, 5 a 9 patria do množiny A, musia všetky patriť do množiny A∪B. Navyše, keďže prvky 1 a 9 patria do množiny B, potom musia všetky patriť do množiny A ∪ B.
Všimnite si, že 9 sme spomenuli dvakrát, pretože tento prvok patrí do množiny A a množiny B. Povedať, že „množina A ∪ B je tvorená prvkami, ktoré patria do A alebo patriť do B“ nevylučuje prvky, ktoré súčasne patria do množín A a B.
Takže v tomto príklade máme
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Všimnite si, že prvok 9 píšeme iba raz.
Priesečník množín
Priesečník množín A a B je množina A ∩ B (čítaj „Priesečník B“). Táto sada sa skladá zo všetkých prvkov, ktoré patria do sady A to je patrí do skupiny B. Inými slovami, A ∩ B sa skladá zo spoločných prvkov množín A a B.
Označením prvkov A ∩ B x, píšeme
\(A∩B=\{x; x∈A\ a\ x∈B\}\)
Na obrázku nižšie je oranžová oblasť nastaviť A ∩B.
Vyriešme dva príklady o priesečníku množín!
Príklad 1:
Uvažujme A = {-1, 6, 13} a B = {0, 1, 6, 13}. Aká je množina A ∩ B?
Množinu A ∩ B tvoria všetky prvky, ktoré patria do množiny A to je patrí do skupiny B. Všimnite si, že prvky 6 a 13 patria súčasne do množín A a B.
Páči sa ti to,
A ∩ B={6, 13}
Príklad 2:
Aký je priesečník medzi množinami A = {0,4} a \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Všimnite si, že medzi množinami A a B nie je žiadny spoločný prvok. Priesečník je teda množina bez prvkov, teda prázdna množina.
preto
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Rozdiel medzi sadami
Rozdiel medzi množinami A a B je množina A – B (čítaj „rozdiel medzi A a B“). Táto sada pozostáva z všetky prvky, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B.
Zobrazenie prvkov A – B x, píšeme
\(A-B=\{x; x∈A\ a\ x∉B\}\)
Na obrázku nižšie je oranžová oblasť sada A – B.
Pozor: rozdiel medzi množinami A a B nie je rozdiel medzi množinami B a A, pretože B – A tvoria všetky prvky, ktoré patria do množiny B a do množiny A nepatria.
Zvážte dva nižšie uvedené príklady o rozdieloch medzi sadami.
Príklad 1:
Ak A = {-7, 2, 100} a B = {2, 50}, aká je potom množina A – B? A čo množina B – A?
SadaA-B pozostáva zo všetkých prvkov, ktoré patria do množiny A to ječ patrí do skupiny B. Všimnite si, že 2 je jediný prvok v množine A, ktorý patrí aj do množiny B. 2 teda nepatrí do množiny A – B.
preto
A – B = {-7, 100}
Ďalej množinu B – A tvoria všetky prvky, ktoré patria do množiny B to ječ patrí do skupiny A. preto
B – A = {50}
Príklad 2:
Aký je rozdiel medzi množinou A = {–4, 0} a množinou B = {–3}?
Všimnite si, že žiadny z prvkov A nepatrí do B. Rozdiel A – B je teda samotná množina A.
\(A – B = \{-4,0\} = A\)
Pozorovanie: Uvažujme, že U (nazývaná vesmírna množina) je množina, ktorá obsahuje všetky ostatné množiny v danej situácii. Páči sa ti to, rozdiel U–A, s A⊂U, je súbor nazývaný komplementárny k A a zobrazený ako \(BC\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Na nasledujúcom obrázku je obdĺžnik množinou vesmírov a oranžová oblasť množinou vesmírov \(BC\).
Vedieť viac: Krok za krokom, ako urobiť rozdelenie
Vyriešené cvičenia na množinové operácie
Otázka 1
Zvážte množiny A = {–12, –5, 3} a B = {–10, 0, 3, 7} a klasifikujte každé tvrdenie nižšie ako T (pravda) alebo F (nepravda).
ja A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Správne poradie, zhora nadol, je
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Rozhodnutie
ja Nepravdivé.
Prvok 0 musí patriť do spojenia A a B, pretože 0 ∈ B. Teda A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Pravda.
III. Pravda.
Alternatíva B.
Otázka 2
Uvažujme A = {4, 5}, B = {6,7} a C = {7,8}. Potom množina A ∪ B ∩ C je
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Rozhodnutie
Všimnite si, že A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Preto množina A ∪ B ∩ C je priesečník medzi A ∪ B = {4, 5, 6, 7} a C = {7,8}. čoskoro
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternatíva A.
Zdroje
LIMA, Elon L.. Kurz analýzy. 7 vyd. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. a kol. Stredoškolská matematika. 11. vyd. Zbierka učiteľov matematiky. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
