O objem sférysa vypočíta na základe merania jeho polomeru. Guľa je geometrický tvar, ktorý má tri rozmery. Hlavnými prvkami gule sú jej polomer a priemer. Objem gule sa vypočíta pomocou špecifického vzorca, ktorý bude uvedený nižšie. Okrem objemu môžeme vypočítať aj povrch gule.
Prečítajte si tiež: Ako vypočítať objem valca
Zhrnutie objemu gule
- Niekoľko predmetov v našom každodennom živote má guľový tvar, napríklad futbalová lopta.
- Hlavnými prvkami gule sú jej polomer a priemer.
- Na výpočet objemu gule použijeme vzorec:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
- Existujú aj ďalšie dôležité vzorce, ako napríklad vzorec pre oblasť gule: \(A=4\pi r^2\).
Video lekcia o objeme gule
čo je guľa?
Guľa je jeden trojrozmerný tvar definovaný ako trojrozmerný obrazec, ktorého body sú rovnako vzdialené od jeho stredu. Je to jeden z najsymetrickejších tvarov a v našom svete je prítomný mnohými spôsobmi. Prítomnosť gule môžeme vnímať v prírode, v ľudskom tele, pri štúdiu planét, okrem iných situácií v našom každodennom živote.
Guľa je geometrické teleso. Biliard, futbal a basketbalová lopta sú príklady gúľ. Tvoria ho všetky body, ktoré sú v konštantnej vzdialenosti od centrálneho bodu nazývaného stred gule. A táto konštantná vzdialenosť je známa ako polomer gule.
Sférické prvky
Guľa má niekoľko zaujímavých častí:
- Stred: ako už názov napovedá, je to bod, ktorý je v strede gule.
- Priemer: priamka, ktorá spája dva protiľahlé body na gule a prechádza stredom.
- Ray: segment, ktorý prechádza zo stredu do akéhokoľvek bodu na povrchu.
- Povrch: vonkajšia vrstva gule.
- Vnútri: priestor vo vnútri gule.
Ako vypočítate objem gule?
Vypočíta sa objem gule podľa vzorca:
\(V=\frac{4}{3}\pi R^3\)
- V: je objem gule.
- A: je polomer gule.
- π: je konštanta.
Okonštantná hodnota πnajčastejšie sa používa približne 3,14, ale môžeme zvážiť π rovná približne 3 alebo približne 3,1 alebo dokonca približne 3,1415, v závislosti od toho, koľko desatinných miest chceme zvážiť, pretože π je iracionálne číslo a iracionálne čísla majú nekonečný počet desatinných miest.
- Príklad:
Guľa má polomer 6 cm. Aký je objem tejto gule, vzhľadom na to π=3?
Rozhodnutie:
Pri výpočte objemu gule máme:
\(V=\frac{4\pi R^3}{3}\)
\(V=\frac{4\cdot3\cdot6^3}{3}\)
\(V=\frac{12\cdot216}{3}\)
\(V=\frac{2592}{3}\)
\(V=864\ cm^3\)
Objem tejto gule je teda 864 cm³.
Ďalší guľový vzorec
Okrem vzorca uvedeného na výpočet objemu gule existuje ďalší dôležitý vzorec, ktorým je vzorec povrchovej plochy. Na výpočet plochy povrchu gule je vzorec:
\(A=4\pi r^2\)
A povrch gule nie je nič iné ako oblasť, ktorá guľu obklopuje. Napríklad v plastovej guli je guľa celá guľa a povrch je oblasť plastu, ktorá je obrysom tejto gule.
- Príklad:
Aká je veľkosť povrchu gule s polomerom 5 cm?
Rozhodnutie:
Ako hodnota π, nenahradíme ho žiadnou hodnotou, takže:
\(A=4\cdot\pi\cdot5^2\)
\(A=4\cdot\pi\cdot25\)
\(A=100\pi\ cm²\)
Oblasť tejto sféry je v 100π cm2.
Vedieť viac: Aký je rozdiel medzi obvodom, kruhom a guľou?
Vyriešené cvičenia na objem gule
Otázka 1
Sférický objekt má polomer 6 cm. Potom objem tohto objektu (pomocou π=3,14) sa približne rovná:
A) 314,42 cm³
B) 288,00 cm³
C) 424,74 cm³
D) 602,38 cm³
E) 904,32 cm³
Rozhodnutie:
Alternatíva E
Nahradenie hodnôt uvedených vo vyhlásení do vzorca \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), máme:
\(V=\frac{4}{3}\pi6^3\)
\(V=\frac{4}{3}\pi216\)
\(V=288\pi\approx288\cdot3,14=904,32{\cm}^3\)
Otázka 2
Nádoba má guľovitý tvar. Je známe, že má objem v 288π cm³. Keď poznáme jeho objem, môžeme konštatovať, že rozmer polomeru tohto kontajnera je:
A) 3 cm
B) 4 cm
C) 5 cm
D) 6 cm
E) 7 cm
Rozhodnutie:
Alternatíva D
My to vieme \(V=288\pi\).
Nahradenie hodnôt uvedených vo vyhlásení do vzorca \(V=\frac{4}{3}\pi R^3\), máme \(288\pi=\frac{4}{3}\pi R^3\).
Zrušenie π na oboch stranách a krížové násobenie:
\({4R}^3=864\)
\(R^3=216\)
\(R=\sqrt[3]{216}\)
\(R=\sqrt[3]{6^3}\)
\(R=6\ cm\)
Zdroje
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Základy elementárnej matematiky: Priestorová geometria, zv. 10, 6. vyd. São Paulo: Aktuálne, 2005.
LIMA, E. et. al. Stredoškolská matematika. zväzok 2. Rio de Janeiro: SBM, 1998.
