A zakorenenie Je to matematická operácia, rovnako ako sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie a potencovanie. Rovnako ako odčítanie je inverznou operáciou sčítania a delenie je inverznou operáciou násobenia, vyžarovanie je inverznou operáciou potenciácie. Takže pre reálne kladné x a y a celé číslo n (väčšie alebo rovné 2), ak x zvýšené na n sa rovná y, môžeme povedať, že n-tá odmocnina z y sa rovná x. V matematickom zápise: \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Prečítajte si tiež:Potenciácia a vyžarovanie frakcií — ako na to?
Zhrnutie o rootovaní
Rootifikácia je matematická operácia.
Žiarenie a potenciácia sú inverzné operácie, to znamená pre kladné x a y, \(x^n=y\Rightarrow\sqrt[n]{y}=x\).
Výpočet n-tej odmocniny čísla y znamená nájsť číslo x také, že x zvýšené na n sa rovná y.
Čítanie koreňa závisí od indexu n. Ak n = 2, nazývame to odmocnina a ak n = 3, nazývame to odmocnina.
V operáciách s radikálmi používame výrazy s rovnakým indexom.
Žiarenie má dôležité vlastnosti, ktoré uľahčujú jeho výpočet.
Video lekcia o rootovaní
Reprezentácia koreňa
Predstavovať zakorenenie, musíme vziať do úvahy tri súvisiace prvky: radikand, index a koreň. Symbol \(√\) sa nazýva radikál.
\(\sqrt[n]{y}=x\)
V tomto príklade y je radikand, n je index a x je koreň. Znie „n-tá odmocnina z y je x“. Zatiaľ čo x a y predstavujú kladné reálne čísla, n predstavuje celé číslo rovné alebo väčšie ako 2. Je dôležité poznamenať, že pre n = 2 je možné index vynechať. Takže napr. \(\sqrt[2]{9}=\sqrt9\).
Radiáciu môžeme reprezentovať pomocou radikandu s zlomkovým exponentom. Formálne hovoríme, že n-tá odmocnina z \(y^m\) možno zapísať ako y zvýšené na zlomkový exponent \(\frac{m}n\).
\(\sqrt[n]{y^m}=y^\frac{m}{n}\)
Pozrite si príklady:
\(√5=5^\frac{1}{2}\)
\(\sqrt[3]{2^4}=2^\frac{4}{3}\)
Rozdiely medzi radiáciou a potenciáciou
Potenciácia a žiarenie sú inverzné matematické operácie. To znamená, že ak \(x^n=y\), potom \(\sqrt[n]{y}=x\). Zdá sa to ťažké? Pozrime sa na niekoľko príkladov.
Ak \(3^2=9\), potom \(\sqrt[2]{9}=3\).
Ak \(2^3=8\), potom \(\sqrt[3]{8}=2\).
Ak \(5^4=625\), potom \(\sqrt[4]{625}=5\).
Ako čítať koreň?
Ak chcete prečítať koreň, musíme zvážiť index n. Ak n = 2, nazývame to druhá odmocnina. Ak n = 3, nazývame to odmocnina. Pre hodnoty n väčšie, používame nomenklatúru pre radové číslovky: štvrtý koreň (ak n = 4), piaty koreň (ak n = 5) atď. Pozrite si niekoľko príkladov:
\(\sqrt[2]{9}\) - druhá odmocnina z 9.
\(\sqrt[3]{8}\) – odmocnina z 8.
\(\sqrt[4]{625}\) – štvrtý koreň z 625.
Ako vypočítať koreň čísla?
Nižšie uvidíme, ako vypočítať odmocninu kladného reálneho čísla. Na výpočet odmocniny čísla, musíme zvážiť súvisiacu inverznú operáciu. To znamená, že ak hľadáme n-tú odmocninu čísla y, musíme hľadať číslo x také, že \(x^n=y\).
V závislosti od hodnoty y (teda radikandu) môže byť tento proces jednoduchý alebo pracný. Pozrime sa na niekoľko príkladov, ako vypočítať odmocninu čísla.
Príklad 1:
Aká je druhá odmocnina zo 144?
Rozhodnutie:
Zavolajme na číslo, ktoré hľadáme x, tj. \(\sqrt{144}=x\). Všimnite si, že to znamená hľadať číslo x také, že \(x^2=144\). Otestujme niektoré možnosti s prirodzenými číslami:
\(9^2=81\)
\(10^2=100\)
\(11^2=121\)
\(12^2=144\)
preto \(\sqrt{144}=12\).
Príklad 2:
Aká je odmocnina čísla 100?
Rozhodnutie:
Zavolajme na číslo, ktoré hľadáme x, tj. \(\sqrt[3]=x\). To znamená, že \(x^3=100\). Poďme otestovať niektoré možnosti:
\(2^3=8\)
\(3^3=27\)
\(4^3=64\)
\(5^3=125\)
Všimnite si, že hľadáme číslo, ktoré je medzi 4 a 5 \(4^3=64\) to je \(5^3=125\). Poďme teda otestovať niektoré možnosti s číslami medzi 4 a 5:
\(4,1^3=68,921\)
\(4,2^3=74,088\)
\(4,3^3=79,507\)
\(4,4^3=85,184\)
\(4,5^3=91,125\)
\(4,6^3=97,336\)
\(4,7^3=103,823\)
Ako \(4,6^3 \) je číslo blízke a menšie ako 100, môžeme povedať, že 4,6 je aproximácia k odmocnine 100. preto \(\sqrt[3]{100}≈4,6\).
Dôležité:Keď je koreň racionálne číslo, hovoríme, že koreň je presný; inak koreň nie je presný. Vo vyššie uvedenom príklade určíme rozsah medzi presnými koreňmi, kde sa nájde hľadaný koreň:
\(\sqrt[3]{64}
\(4
Táto stratégia je veľmi užitočná na výpočet aproximácií koreňa.
Operácie s radikálmi
V operáciách s radikálmi používame výrazy s rovnakým indexom. Vzhľadom na to si pozorne prečítajte nasledujúce informácie.
→ Sčítanie a odčítanie medzi radikálmi
Aby sme vyriešili sčítanie alebo odčítanie medzi radikálmi, musíme vypočítať koreň každého radikálu samostatne.
Príklady:
\(\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{216}=3+6=9\)
\(\sqrt{400}-\sqrt{169}=20-13=7\)
Dôležité: Nie je možné vykonávať operácie sčítania a odčítania radikálov. Všimnite si, že napríklad operácia \(\sqrt4+\sqrt9\) výsledkom je iný počet \(\sqrt{13}\), aj keď \(4+9=13\).
\(\sqrt4+\sqrt9=2+3=5\)
\(\sqrt{13}≈3,6\)
→ Násobenie a delenie medzi radikálmi
Na vyriešenie násobenia alebo delenia medzi radikálmi môžeme vypočítať koreň každého radikálu samostatne, ale môžeme použiť aj radiačné vlastnosti, ktoré uvidíme nižšie.
Príklady:
\(\sqrt{121}⋅\sqrt{49}=11⋅49=539\)
\(\sqrt[3]{512}÷\sqrt[3]{64}=8÷4=2\)
Aké sú vlastnosti žiarenia?
→ Vlastnosť 1 žiarenia
Ak y je kladné číslo, potom n-tá odmocnina z \(y^n\) sa rovná y.
\(\sqrt[n]{y^n}=y\)
Pozrite si príklad:
\(\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}=2\)
Táto vlastnosť je široko používaná na zjednodušenie výrazov s radikálmi.
→ Vlastnosť 2 žiarenia
N-tý koreň produktu \(y⋅z\) sa rovná súčinu n-tých koreňov y a z.
\(\sqrt[n]{y\cdot z}=\sqrt[n]{y}\cdot \sqrt[n]{z}\)
Pozrite si príklad:
\(\sqrt{36 ⋅ 196}=\sqrt{36}⋅\sqrt{196}=6⋅14=84\)
Dôležité: Keď vypočítame odmocninu veľkého čísla, je to veľmi užitočné rozložiť (rozložiť) radikand na prvočísla a použite vlastnosti 1 a 2. Pozrite si nasledujúci príklad, v ktorom chceme počítať \(\sqrt{7744}\):
\(7744=2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2\)
Páči sa ti to,
\(\sqrt{2^2⋅2^2⋅2^2⋅11^2}=\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{2^2}⋅\sqrt{11 ^2}= 2⋅2 ⋅2⋅11 = 88\)
→ Nehnuteľnosť 3zakorenenia
N-tá odmocnina kvocientu \(\frac{y}z\), s \(z≠0\), sa rovná podielu n-tých koreňov y a z.
\(\sqrt[n]{\frac{y}{z}}=\frac{\sqrt[n]{y}}{\sqrt[n]{z}}\)
Pozrite si príklad:
\(\sqrt[a]{\frac{125}{64}}=\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{64}}=\frac{5}4\)
→ Vlastnosť 4 žiarenia
N-tá odmocnina z y umocnená na exponent m sa rovná n-tej odmocnine z \(y^m\).
\((\sqrt[n]{y})^m=\sqrt[n]{y^m}\)
Pozrite si príklad:
\((\sqrt[3]{8})^2=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4\)
Pozri tiež: Aké sú vlastnosti potenciácie?
Vyriešené cvičenia na ožarovanie
Otázka 1
(FGV) Zjednodušenie \(2\sqrt3+2\sqrt12-2\sqrt{75}\), dostanete:
A) 0
B) - 23
C) - 43
D) - 63
D) - 83
Rozhodnutie:
Alternatíva C.
Všimnite si, že pomocou vlastností žiarenia máme
\(2\sqrt{12}=2⋅\sqrt{3⋅ 4}=2⋅\sqrt3⋅\sqrt4=2⋅\sqrt3⋅2=4\sqrt3\)
\(2\sqrt{75}=2⋅\sqrt{25⋅3}=2⋅\sqrt{25}⋅\sqrt3=2⋅5⋅\sqrt3=10\sqrt3\)
Vyjadrenie výroku teda môžeme prepísať ako
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3\)
Uvedenie termínu \(\sqrt3\) dôkazy, dospeli sme k záveru
\(2\sqrt3+4\sqrt3-10\sqrt3=(2+4-10)⋅\sqrt3=-4\sqrt3\)
Otázka 2
(Cefet) Akým číslom máme vynásobiť číslo 0,75, aby sa druhá odmocnina získaného súčinu rovnala 45?
A) 2700
B) 2800
C) 2900
D) 3000
Rozhodnutie:
Alternatíva A.
Hľadané číslo je x. Podľa vyhlásenia teda
\(\sqrt{0,75⋅x}=45\)
preto
\(0,75⋅x=45^2\)
\(0,75⋅x=2025\)
\(x=\frac{2025}{0,75}\)
\(x = 2700\)
