Vieme ako polynóm výraz, ktorý označuje algebraický súčet monomiálov, ktoré nie sú podobné, to znamená, že polynóm je jeden algebraický výraz medzi monomiálmi. Monomium je algebraický výraz, ktorý má koeficient a doslovnú časť.
Ak sú medzi polynómami podobné členy, je možné vykonať zníženie jeho podmienok sčítanie a / alebo odčítanie dvoch polynómov. Prostredníctvom distribučnej vlastnosti je tiež možné znásobiť dva polynómy. Delenie sa vykonáva metódou klávesov.
Prečítajte si tiež: Polynomiálna rovnica - Rovnica charakterizovaná tým, že má polynóm rovný 0
Čo sú monomálie?
Aby sme pochopili, čo je polynóm, je dôležité najskôr porozumieť významu monomia. Algebraický výraz je známy ako monomium, ak má čísla a písmená a ich exponenty oddelené iba násobením. Číslo je známe ako koeficient a písmená a ich exponenty sú známe ako literálna časť.
Príklady:
2x² → 2 je koeficient; x² je doslovná časť.
√5ax → √5 je koeficient; sekera je doslovná časť.
b³yz² → 1 je koeficient; b³yz² je doslovná časť.
Čo je to polynóm?
Polynóm nie je nič iné ako algebraický súčet monomiálov, to znamená, že ide o viac monomiálov oddelených od seba sčítaním alebo odčítaním.
Príklady:
ax² + o + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Všeobecne platí, že polynóm môže mať niekoľko výrazov, je reprezentovaný algebraicky:
ThečXč +(n-1) X(n-1) +... +2x² + a1x + a
Pozri tiež: Aké sú triedy polynómov?
stupeň polynómu
Ak chcete zistiť stupeň polynómu, rozdeľme ho na dva prípady, keď má jednu premennú a keď má viac premenných. Stupeň polynómu je daný stupeň najväčšieho z monomilov v obidvoch prípadoch.
Je celkom bežné pracovať s polynómom, ktorý má iba jednu premennú. Keď sa to stane, O väčšie monomium stupňa čo označuje stupeň polynómu sa rovná najväčšiemu exponentu premennej:
Príklady:
Jednoduché premenné polynómy
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → všimnite si, že premenná je x a najväčší exponent, ktorý má, je 3, jedná sa teda o polynóm 3. stupňa.
b) 2r5 + 4y² - 2y + 8 → premenná je y a najväčší exponent je 5, jedná sa teda o polynóm stupňa 5.
Ak má polynóm v monomeli viac ako jednu premennú, je potrebné nájsť stupeň tohto výrazu pridať-ak stupeň exponentov každej z premenných. Teda stupeň polynómu sa v tomto prípade stále rovná stupňu najväčšieho monomia, je však potrebné dbať na to, aby sme pridali exponenty premenných každej monomálie.
Príklady:
a) 2xy + 4x²y³ - 5r4
Pri analýze doslovnej časti každého výrazu musíme:
xy → stupeň 2 (1 + 1)
x²y³ → stupeň 5 (2 + 3)
y³ → 3. ročník
Všimnite si, že najväčší termín má stupeň 5, takže ide o polynom 5. stupňa.
b) 8a²b - ab + 2a²b²
Analýza doslovnej časti každého monómu:
a²b → stupeň 3 (2 + 1)
ab² → stupeň 2 (1 + 1)
a²b² → platová trieda 4 (2 + 2)
Polynóm má teda stupeň 4.
Pridávanie polynómov
Do sčítanie medzi dvoma polynómami, uskutočnime zníženie podobných monomilov. Dve monomálie sú si podobné, ak majú rovnaké doslovné časti. Keď sa to stane, je možné polynóm zjednodušiť.
Príklad:
Nech P (x) = 2x² + 4x + 3 a Q (x) = 4x² - 2x + 4. Nájdite hodnotu P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Nájdenie podobných výrazov (ktoré majú rovnaké doslovné časti):
2x² + 4x + 3 + 4x² – 2x + 4
Teraz pridajme podobné monomiely:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Polynomické odčítanie
Odčítanie sa veľmi nelíši od sčítania. Dôležitým detailom je to najskôr musíme napísať opačný polynóm predtým, ako vykonáme zjednodušenie podobných výrazov.
Príklad:
Údaje: P (x) = 2x² + 4x + 3 a Q (x) = 4x² - 2x + 4. Vypočítajte P (x) - Q (x).
Polynom -Q (x) je opakom Q (x), aby sme našli opak Q (x), stačí obrátiť znamienko každého z jeho výrazov, takže musíme:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Potom vypočítame:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Zjednodušením podobných výrazov máme:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Polynomické násobenie
Na uskutočnenie násobenia dvoch polynómov používame známe distribučný majetok medzi dvoma polynómami, operujúce znásobenie monomómov prvého polynómu tými druhými.
Príklad:
Nech P (x) = 2a² + b a Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Vypočítajte P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Pri uplatňovaní distribučného majetku budeme mať:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
25 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Teraz, ak existujú, môžeme podobné výrazy zjednodušiť:
25 + 6a³b + 8a²b² + ab + 3ab² + 4b³
Upozorňujeme, že iba podobné monomény sú zvýraznené oranžovou farbou, čo zjednodušuje ich vzájomné prepojenie. Ako odpoveď budeme mať nasledujúci polynóm:
25 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
25 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Tiež prístup: Ako urobiť násobenie algebraických zlomkov?
polynomické delenie
vykonať delenie polynómov môže byť dosť namáhavé, používame tzv metóda kľúčov, ale existuje niekoľko metód. Delenie dvoch polynómov je to možné, iba ak je stupeň deliteľa menší. Vydelením polynómu P (x) polynómom D (x) hľadáme polynóm Q (x), ktorý:
Algoritmom delenia teda máme: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → dividenda
D (x) → rozdeľovač
Q (x) → kvocient
R (x) → zvyšok
Pri prevádzke delenia je polynóm P (x) deliteľný polynómom D (x), ak je zvyšok nulový.
Príklad:
Pracujme tak, že polynóm P (x) = 15x² + 11x + 2 vydelíme polynómom D (x) = 3x + 1.
Chceme zdieľať:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1. krok: rozdelili sme prvé monónium z dividendy na prvé z deliteľa:
15x²: 3x = 5x
2. krok: vynásobíme 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x a odčítame výsledok P (x). Ak chcete vykonať odčítanie, je potrebné invertovať znaky výsledku násobenia a nájsť polynóm:
3. krok: vykonáme delenie prvého člena výsledku odčítania prvým členom deliteľa:
6x: 3x = 2
4. krok: takže máme (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Preto musíme:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Prečítajte si tiež: Briot-Ruffiniho praktické zariadenie - rozdelenie polynómov
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - Aká by mala byť hodnota m, aby polynom P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m mal stupeň 2?
A) 3
B) -3
C) ± 3
D) 9
E) -9
Rozhodnutie
Alternatíva A
Aby mal P (x) stupeň 2, musí sa koeficient x³ rovnať nule a koeficient x² musí byť odlišný od nuly.
Urobíme teda:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Na druhej strane, máme m + 3 ≠ 0.
Takže, m ≠ -3.
Máme teda ako riešenie prvej rovnice, že m = 3 alebo m = -3, ale pre druhú máme m ≠ -3, takže jediné riešenie, ktoré robí P (x) stupňom 2, je: m = 3.
Otázka 2 - (IFMA 2017) Obvod obrázku možno zapísať polynómom:
A) 8x + 5
B) 8x + 3
C) 12 + 5
D) 12x + 10
E) 12x + 8
Rozhodnutie
Alternatíva D
Z obrázku, keď analyzujeme danú dĺžku a šírku, vieme, že obvod je súčtom všetkých strán. Pretože dĺžka a výška sú rovnaké, vynásobíme len súčet daných polynómov číslom 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
