Objem zrezaného kužeľa: ako vypočítať?

protection click fraud

O objem zrezaného kužeľa je priestor, ktorý zaberá toto okrúhle teleso. Pretože prierez kužeľa s polomerom R vytvára menší kužeľ s polomerom r a zrezaný kužeľ, objemy týchto troch pevných látok spolu súvisia.

Prečítajte si tiež: Ako vypočítať kmeň pyramídy

Zhrnutie objemu zrezaného kužeľa

Kužeľ s polomerom R zrezaný priečne vo výške H základnej roviny je rozdelená na dve geometrické telesá: kužeľ s polomerom r to je kmeňový kužeľ.
Hlavnými prvkami zrezaného kužeľa sú výška H, najmenšia základňa polomeru r a väčšia základňa polomeru R.
Objem zrezaného kužeľa je rozdiel medzi objemom kužeľa s polomerom R a objemom kužeľa s polomerom r.
Vzorec pre objem zrezaného kužeľa je:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

Video lekcia o objeme zrezaného kužeľa

Aké sú prvky zrezaného kužeľa?

Prvky zrezaného kužeľa vytvoreného z časti pravého kužeľa s polomerom R sú:

vedľajšia základňa – polomer kruhu r, získaný v reze kužeľa s polomerom R .
väčšia základňa – kruhová základňa kužeľa s polomerom R .
výška (h) – vzdialenosť medzi rovinami podstavcov.

instagram story viewer

Generatrix – segment s koncami na obvodoch, ktoré ohraničujú základne.

A obrázok nižšie predstavuje prvky zrezaného kužeľa. Všimnite si, že vedľajšie a hlavné základy sú paralelné.

Objemový vzorec kmeňa kužeľa

Ďalej odvodme vzorec pre objem zrezaného zrezaného tvaru výšky H, menší polomer základne r a polomer najväčšej základne R .

Uvažujme, že prierez kužeľa s polomerom R a výškou H₁ produkuje dve pevné látky:

bleskový kužeľ r a výška H₂ to je
vysoký kmeňový kužeľ H .

uvedomte si to \(H_1=H_2+h\).

Objem kužeľa s polomerom R (ktorý budeme nazývať väčší kužeľ) bude reprezentovaný VR; objem polomerového kužeľa r (ktorý budeme nazývať menší kužeľ), podľa Vr; a objem zrezaného kužeľa o Vt. Preto:

\(V_R=V_r+V_t\)

Poznač si to:

\( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
\( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)

Pozorovanie: VR a Vr sú objemy kužeľov. Ak chcete túto záležitosť skontrolovať, kliknite tu.

Páči sa ti to:

\(V_R=V_r+V_t\)

\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

Člen H2 zodpovedá výške menšieho kužeľa. Vzťahom medzi výškami kužeľov a príslušnými polomermi základov môžeme získať vzorec pre objem kmeňa, ktorý závisí iba od prvkov kmeňa (R, r to je H).

Priradenie polomeru a výšky väčšieho kužeľa (R a H₁ ) s polomerom a výškou menšieho kužeľa (r a H₂), máme nasledujúci podiel:

\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)

\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)

\(RH_2=rH_2+rh\)

\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)

čoskoro môžeme prepísať objem kufra Vt nasledovne:

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)

Páči sa ti to, Vzorec pre objem zrezaného kužeľa je:

\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)

Prečítajte si tiež: Objemové vzorce rôznych geometrických telies

Ako vypočítať objem zrezaného kužeľa?

Ak chcete vypočítať objem zrezaného kužeľa, stačí nahradiť miery výšky, polomeru menšej základne a polomeru väčšej základne vo vzorci.

Príklad: Aký je objem v kubických centimetroch zrezaného kužeľa, ktorého polomer väčšej základne je R = 5 cm, polomer menšej základne je r = 3 a výška je h = 2 cm? (Použite π=3 )

Nahradením údajov vo vzorci máme:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)

\(V_t=2⋅(49)\)

\(V_t=98 cm³\)

Vyriešené cvičenia na objem zrezaného kužeľa

Otázka 1

Hrniec má tvar zrezaného kužeľa s najväčším polomerom základne R = 8 cm, najmenším polomerom základne r = 4 a výšku h = 2 cm. Objem tohto hrnca v cm³ je:

a) 48 pi

b) 64 pi

c) 112 pi

d) 448 pi

e) 1344 pi

Rozhodnutie

Nahradením údajov vo vzorci máme:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)

\(V_t=4π⋅(112)\)

\(V_t=448 π\)

Alternatíva D

otázka 2