O objem zrezaného kužeľa je priestor, ktorý zaberá toto okrúhle teleso. Pretože prierez kužeľa s polomerom R vytvára menší kužeľ s polomerom r a zrezaný kužeľ, objemy týchto troch pevných látok spolu súvisia.
Prečítajte si tiež: Ako vypočítať kmeň pyramídy
Zhrnutie objemu zrezaného kužeľa
- Kužeľ s polomerom R zrezaný priečne vo výške H základnej roviny je rozdelená na dve geometrické telesá: kužeľ s polomerom r to je kmeňový kužeľ.
- Hlavnými prvkami zrezaného kužeľa sú výška H, najmenšia základňa polomeru r a väčšia základňa polomeru R.
- Objem zrezaného kužeľa je rozdiel medzi objemom kužeľa s polomerom R a objemom kužeľa s polomerom r.
- Vzorec pre objem zrezaného kužeľa je:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Video lekcia o objeme zrezaného kužeľa
Aké sú prvky zrezaného kužeľa?
Prvky zrezaného kužeľa vytvoreného z časti pravého kužeľa s polomerom R sú:
- vedľajšia základňa – polomer kruhu r, získaný v reze kužeľa s polomerom R .
- väčšia základňa – kruhová základňa kužeľa s polomerom R .
- výška (h) – vzdialenosť medzi rovinami podstavcov.
- Generatrix – segment s koncami na obvodoch, ktoré ohraničujú základne.
A obrázok nižšie predstavuje prvky zrezaného kužeľa. Všimnite si, že vedľajšie a hlavné základy sú paralelné.
Objemový vzorec kmeňa kužeľa
Ďalej odvodme vzorec pre objem zrezaného zrezaného tvaru výšky H, menší polomer základne r a polomer najväčšej základne R .
Uvažujme, že prierez kužeľa s polomerom R a výškou H1 produkuje dve pevné látky:
- bleskový kužeľ r a výška H2 to je
- vysoký kmeňový kužeľ H .
uvedomte si to \(H_1=H_2+h\).
Objem kužeľa s polomerom R (ktorý budeme nazývať väčší kužeľ) bude reprezentovaný VR; objem polomerového kužeľa r (ktorý budeme nazývať menší kužeľ), podľa Vr; a objem zrezaného kužeľa o Vt. Preto:
\(V_R=V_r+V_t\)
Poznač si to:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Pozorovanie: VR a Vr sú objemy kužeľov. Ak chcete túto záležitosť skontrolovať, kliknite tu.
Páči sa ti to:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
Člen H2 zodpovedá výške menšieho kužeľa. Vzťahom medzi výškami kužeľov a príslušnými polomermi základov môžeme získať vzorec pre objem kmeňa, ktorý závisí iba od prvkov kmeňa (R, r to je H).
Priradenie polomeru a výšky väčšieho kužeľa (R a H1 ) s polomerom a výškou menšieho kužeľa (r a H2), máme nasledujúci podiel:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
čoskoro môžeme prepísať objem kufra Vt nasledovne:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Páči sa ti to, Vzorec pre objem zrezaného kužeľa je:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Prečítajte si tiež: Objemové vzorce rôznych geometrických telies
Ako vypočítať objem zrezaného kužeľa?
Ak chcete vypočítať objem zrezaného kužeľa, stačí nahradiť miery výšky, polomeru menšej základne a polomeru väčšej základne vo vzorci.
- Príklad: Aký je objem v kubických centimetroch zrezaného kužeľa, ktorého polomer väčšej základne je R = 5 cm, polomer menšej základne je r = 3 a výška je h = 2 cm? (Použite π=3 )
Nahradením údajov vo vzorci máme:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Vyriešené cvičenia na objem zrezaného kužeľa
Otázka 1
Hrniec má tvar zrezaného kužeľa s najväčším polomerom základne R = 8 cm, najmenším polomerom základne r = 4 a výšku h = 2 cm. Objem tohto hrnca v cm³ je:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Rozhodnutie
Nahradením údajov vo vzorci máme:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternatíva D
otázka 2
(Enem 2021) Jedna osoba si kúpil hrnček na pitie polievky, ako je znázornené.
Je známe, že 1 cm³ = 1 ml a že vrch hrnčeka je kruh s priemerom (D) merajúci 10 cm a základňa je kruh s priemerom (d) merajúcim 8 cm.
Ďalej je známe, že výška (h) tohto hrnčeka meria 12 cm (vzdialenosť medzi stredom horného a spodného kruhu).
Použite 3 ako aproximáciu pre π.
Aká je objemová kapacita tohto hrnčeka v mililitroch?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Rozhodnutie
Tvar hrnčeka je zrezaný kužeľ, ktorého vrchná časť je väčšia základňa. Tiež, R=5, r = 4 cm a H = 12. Čoskoro:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Keďže 1 cm³ = 1 ml, máme 732 cm³ = 732 ml.
Alternatíva C
Zdroje:
DANTE, L. R. Matematika: kontext a aplikácie - Stredná škola. 3. vyd. Sao Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Nie Základy elementárnej matematiky, zväzok 10: Priestorová geometria - poloha a metrika. 7 vyd. Santos: Aktuálne, 2013.
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
