Pri štúdiu kruhov je dôležité študovať koncept dotyčnicových čiar do kruhu. Na uskutočnenie tejto štúdie je potrebné porozumieť relatívnym polohám bodu vo vzťahu ku kružnici. Ak ste neštudovali niečo, čo súvisí s touto témou, prečítajte si článok Relatívne polohy medzi bodom a kružnicou.
Pri pozorovaní polohy bodu vo vzťahu ku kružnici môžeme uzavrieť niektoré skutočnosti týkajúce sa dotyčnicových čiar. Je známe, že existujú tri relatívne polohy od bodu po kružnicu. Pre každú túto pozíciu môžeme uzavrieť niečo o dotyčnici, ktorá prechádza týmto bodom.
• Bod vo vnútri kruhu: Týmto bodom nemôžete nakresliť dotyčnicu.
• Bod patriaci do kruhu: prostredníctvom tohto bodu môžeme mať iba dotyčnicu, pretože je to bod dotyčnice.
• Bod mimo kruh: týmto bodom môžeme nakresliť dve priamky dotýkajúce sa kruhu.
Preto, aby sme určili rovnicu priamky dotýkajúcej sa kružnice cez daný bod, musíme nevyhnutne určiť relatívnu polohu tohto bodu. Táto poloha závisí od vzdialenosti od bodu k stredu kružnice.
Musíme si spomenúť na niektoré dôležité fakty o analytickej geometrii:
• Najkratšia vzdialenosť od bodu k priamke je úsek kolmý na túto priamku;
• Tangenta bude vždy kolmá na lúč v jeho tangenciálnom bode.
Vo vzťahu k dvom predchádzajúcim skutočnostiam možno konštatovať, že vzdialenosť od dotyčnice k stredu musí byť rovná polomeru.
Preto, aby sme určili rovnicu dotyčnice, musíme analyzovať polohu bodu, ktorý nakreslíme k priamke a s tým vypočítať vzdialenosť priamky, ktorá obsahuje tento bod, vo vzťahu k stredu obvod.
Pre lepšie pochopenie všetkých týchto pojmov budeme pracovať s príkladmi, ktoré si tieto úvahy vyžadujú.
1) Určte rovnicu (-y) priamky (-iek) dotyčnice (-iek) k danej kružnici nakreslenej bodom P.
a) ekv. obvod: x2+ r2 - 6x - 8r = 0 P (0,0)
Vďaka tomu môžeme získať potrebné informácie o našom probléme:
C (3,4), r = 5.
Teraz musíme nájsť relatívnu polohu bodu P (0,0):
Preto je bod P bodom dotyčnice.
Určme rovnicu priamky vedenej bodom P.
Aby sme mohli skutočne určiť rovnicu priamky, musíme ešte zistiť, aký je sklon tejto priamky. Jedným z faktov, ktoré sme videli na začiatku tohto článku, bola kolmosť dotyčnice k polomeru kruhu. Bod P je bod dotyčnice, takže sklon priamky, ktorá prechádza bodom P a stredom, musí byť kolmý na dotyčnicu. Na to máme vzťah medzi kolmými svahmi.
Inými slovami, súčin svahov kolmých čiar sa rovná -1.
Na určenie sklonu segmentu PC musíme použiť nasledujúci výraz:
S tým získame rovnicu dotyčnice:
Ďalším spôsobom, ako určiť hodnotu m, by bol výpočet vzdialenosti od stredu k priamke. Táto vzdialenosť sa rovná polomeru. Pozrime sa:
Keď je bod mimo kruh, mali by sme nájsť dotyčnicový bod pomocou vzdialenosti od stredu kruhu k dotyčnicu, teda určíme hodnotu uhlového koeficientu dotyčnice, ktorá zase určí rovnicu priamky dotyčnica.
Gabriel Alessandro de Oliveira
Vyštudoval matematiku
Brazílsky školský tím
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tangencia-circunferencia.htm
