Mnohonásobnosť koreňa

Pri riešení rovnice 2. stupňa x² - 6x + 9 = 0, nájdeme dva korene rovné 3. Pomocou vety o rozklade faktorujeme polynóm a získame:
X² - 6x + 9 = 0 = (x - 3) (x - 3) = (x - 3)²
V tomto prípade hovoríme, že 3 je koreň multiplicity 2 alebo dvojitý koreň rovnice.
Ak teda výsledný polynóm vedie k nasledujúcemu výrazu:

Môžeme povedať, že:
x = -5 je koreň s multiplicitou 3 alebo trojnásobný koreň rovnice p (x) = 0
x = -4 je koreň s multiplicitou 2 alebo dvojitým koreňom rovnice p (x) = 0
x = 2 je koreň s multiplicitou 1 alebo jednoduchý koreň rovnice p (x) = 0
Všeobecne hovoríme, že r je koreňom multiplicity n, s n ≥ 1, rovnice p (x) = 0, ak:

Všimnite si, že p (x) je deliteľné (x - r)^m a že podmienka q (r) ≠ 0 znamená, že r nie je koreňom q (x) a zaručuje, že multiplicita koreňa r nie je väčšia ako m.
Príklad 1. Vyriešte rovnicu x⁴ - 9x³ + 23x² - 3x - 36 = 0, za predpokladu, že 3 je dvojitý koreň.
Riešenie: Považujme p (x) za daný polynóm. Takto:

Všimnite si, že q (x) sa získa vydelením p (x) číslom (x - 3)

².
Delením praktickým zariadením spoločnosti Briot-Ruffini získame:

Po vykonaní rozdelenia vidíme, že koeficienty polynómu q (x) sú 1, -3 a -4. Teda q (x) = 0 bude: x² - 3x - 4 = 0
Vyriešime vyššie uvedenú rovnicu a určme ďalšie korene.
X² - 3x - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 alebo x = 4
Preto S = {-1, 3, 4}
Príklad 2. Napíšte algebraickú rovnicu minimálneho stupňa tak, aby 2 bola dvojitá odmocnina a - 1 bola jedna odmocnina.
Riešenie: Musíme:
(x - 2) (x - 2) (x - (-1)) = 0
Alebo

Autor: Marcelo Rigonatto
Špecialista na štatistiku a matematické modelovanie
Brazílsky školský tím

Polynómy - Matematika - Brazílska škola

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm