Postupy: čo to sú, typy, vzorce, príklady

Vieme ako postupnosti konkrétne prípady číselné sekvencie. Existujú dva prípady postupu:

aritmetická postupnosť
geometrický postup

Aby sme boli pokrokom, musíme analyzovať vlastnosti sekvencie, či existuje dôvod, ktorý nazývame. keď je postupnosť aritmetika, dôvodom nie je nič iné ako konštanta, ktorú pridáme k výrazu, aby sme našli jeho nástupcu v poradí; teraz, keď pracujeme s progresiou geometrický, rozum má podobnú funkciu, iba v tomto prípade je rozumom konštantný člen, ktorým vynásobíme člen v poradí, aby sme našli jeho nástupcu.

Kvôli predvídateľné správanie postupu, existujú špecifické vzorce na nájdenie ľubovoľného výrazu v týchto sekvenciách a je tiež možné vyvinúť a vzorec pre každý z nich (tj. jeden pre aritmetickú postupnosť a jeden pre geometrickú postupnosť), aby sa mohol vypočítať súčet Odč prvé termíny tohto postupu.

Prečítajte si tiež: Funkcie - čo sú a na čo slúžia?

Množstvo fazule na zber sa chová ako geometrický postup

číselná postupnosť

Aby sme pochopili, čo sú pokroky, najskôr musíme pochopiť, o čo ide

instagram story viewer

číselné sekvencie. Ako už názov napovedá, poznáme číselnú postupnosť a množina čísel, ktoré rešpektujú objednávku, sú dobre definované alebo nie. Na rozdiel od sady numerika, na ktorej nezáleží na poradí, je v číselnom poradí nevyhnutné poradie, napríklad:

Sekvencia (1, 2, 3, 4, 5) sa líši od (5, 4, 3, 2, 1), ktorá sa líši od sekvencie (1, 5, 4, 3, 2). Aj keď sú prvky rovnaké, poradie sa líši, takže máme rôzne sekvencie.

Príklady:

Môžeme písať sekvencie, ktorých formácie sú dobre viditeľné:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → postupnosť párnych čísel menších alebo rovných 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regresná postupnosť nepárnych čísel od 17 do 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...) → známe ako Fibonacciho postupnosť.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → aj keď nie je možné túto postupnosť opísať ako ostatné, je ľahké predvídať, aké budú ďalšie pojmy.

V ostatných prípadoch sekvencie môžu mať vo svojich hodnotách úplnú náhodnosť, každopádne, aby to bola postupnosť, dôležité je mať množinu usporiadaných hodnôt.

do 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Nakoľko nie je možné predpovedať, kto sú ďalšie výrazy v písmene b, stále pracujeme na pokračovaní.

Všeobecne, reťazce sú vždy uvedené v zátvorkách (), nasledujúcim spôsobom:

(The₁, a₂,₃, a₄,₅, a₆, a₇, a₈ …) → nekonečná postupnosť

(The₁, a₂,₃, a₄,₅, a₆, a₇, a₈ … A_č) → konečná postupnosť

V oboch máme nasledujúce zastúpenie:

The₁→ prvé volebné obdobie

The₂→ druhé volebné obdobie

The₃→ tretie volebné obdobie

The_č→ n-tý termín

Pozorovanie: Je veľmi dôležité, aby sa pri predstavovaní sekvencie údaje uvádzali v zátvorkách. Sekvenčný zápis je často zamieňaný s nastaveným zápisom. Sada je zastúpená v zložených zátvorkách a v súprave nie je dôležité poradie, čo v tomto prípade robí rozdiel.

(1, 2, 3, 4, 5) → postupnosť

{1, 2, 3, 4, 5} → nastav

Existujú konkrétne prípady postupnosti, ktoré sú známe ako postupnosti.

Pozri tiež: Aký je základný princíp počítania?

Čo sú to progresie?

Sekvencia je definovaná ako postupnosť, keď má a pravidelnosť z jedného termínu na druhé, známy ako dôvod. Existujú dva prípady progresie, aritmetická progresia a geometrická progresia. Aby sme vedeli, ako ich odlíšiť, musíme pochopiť, aký je dôvod progresie a ako tento dôvod interaguje s podmienkami postupnosti.

Keď z jedného výrazu na druhý v poradí mám a konštantný súčet, táto sekvencia je definovaná ako postupnosť a v tomto prípade je to a aritmetická postupnosť. Táto hodnota, ktorú neustále sčítavame, sa nazýva pomer. Druhý prípad, to znamená, keď je postupnosťou a geometrický postup, z jedného výrazu do druhého existuje a násobenie konštantnou hodnotou. Analogicky je táto hodnota pomerom geometrickej postupnosti.

Príklady:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → všimnite si, že vždy pridávame 3 z jedného výrazu do druhého, takže máme aritmetický postup pomeru rovný 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10 000 ...) → v tomto prípade vždy vynásobíme 10 z jedného člena do druhého, čo sa týka geometrickej postupnosti pomeru 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → v druhom prípade existuje iba jedna sekvencia. Aby sme našli ďalší výraz, vynásobíme výraz 3 a pridáme 2. V tomto prípade, aj keď existuje pravidelnosť hľadania ďalších výrazov, ide iba o postupnosť, nie o aritmetický alebo geometrický postup.

aritmetická postupnosť

Keď pracujeme s číselnými sekvenciami, tie sekvencie, v ktorých môžeme predpovedať ich ďalšie členy, sú dosť opakujúce sa. Aby bola táto sekvencia klasifikovaná ako a aritmetická postupnosť, musí existovať a dôvod a. Od prvého funkčného obdobia je ďalšie funkčné obdobie zostrojené súčtom predchádzajúceho obdobia s odôvodnením r.

Príklady:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Toto je postupnosť, ktorú možno klasifikovať ako aritmetickú postupnosť, pretože dôvod r = 3 a prvý termín je 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Táto postupnosť predstavuje aritmetický postup z dobrého dôvodu. r = -5 a jeho prvý člen je 7.

Podmienky PA

V mnohých prípadoch je naším záujmom nájsť v postupe konkrétny výraz bez toho, aby sme museli napísať celú postupnosť. Ak poznáme hodnotu prvého člena a pomer, je možné nájsť hodnotu ktoréhokoľvek člena v aritmetickom postupe. Na nájdenie pojmov arimetického postupu použijeme vzorec:

The_č=₁+ (n - 1) r

Príklad:

Nájdite 25. člen P.A, ktorého pomer je 3 a prvý člen je 12.

Údaje r = 3₁ = 12. Chceme nájsť 25. člen, teda n = 25.

The_č=₁+ (n - 1) r

The₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

The₂₅ = 12 + 24 · 3

The₂₅ = 12 + 72

The₂₅ = 84

Všeobecné funkčné obdobie P.A.

Všeobecný výraz vzorec je a spôsob, ako zjednodušiť vzorec výrazu AP rýchlejšie nájsť ľubovoľný termín postupu. Keď je známy prvý člen a dôvod, stačí vo vzorci nahradiť výraz P.A., aby sa našiel všeobecný výraz aritmetickej postupnosti, ktorý závisí iba od hodnoty č.

Príklad:

Vyhľadajte všeobecný výraz P.A., ktorý má r = 3 a₁ = 2.

The_č = 2 + (n -1) r

The_č = 2 + (n -1) 3

The_č = 2 + 3n - 3

The_č = 2n - 1

Toto je všeobecný pojem P.A., ktorý slúži na nájdenie ľubovoľného výrazu v tomto postupe.

Súčet podmienok PA

THE súčet podmienok PA bolo by dosť namáhavé, keby bolo potrebné nájsť každý z jeho výrazov a spočítať ich. Existuje vzorec na výpočet súčtu všetkých č prvé členy aritmetického postupu:

Príklad:

Nájdite súčet všetkých nepárnych čísel od 1 do 100.

Vieme, že nepárne čísla sú aritmetickým priebehom pomeru 2: (1, 3, 5, 7... 99). V tomto postupe je 50 pojmov, pretože od 1 do 100 je polovica čísel párna a druhá polovica nepárna.

Preto musíme:

n = 50

The₁= 1

The_č = 99

Tiež prístup: Funkcia 1. stupňa - praktické využitie aritmetickej postupnosti

Geometrický postup

Reťazec možno tiež klasifikovať ako pragresia geometrický (PG). Aby sekvencia bola geometrickou postupnosťou, musí mať dôvod, ale v takom prípade, aby sme našli ďalší člen z prvého člena, vykonáme násobenie pomeru za predchádzajúce obdobie.

Príklady:

a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Geometrický priebeh pomeru 2 a jeho prvý člen je 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Geometrický priebeh pomeru 10 a jeho prvý člen je 20.

Termín PG

V geometrickom postupe predstavujeme dôvod písmena čo. Termín geometrickej postupnosti môžeme nájsť vzorcom:

The_č=₁ · čo^{n - 1}

Príklad:

Nájdite 10. volebné obdobie PG, vedzte to čo = 2 a₁= 5.

The_č=₁ · čo^{n - 1}

The₁₀= 5 · 2^{10 - 1}

The₁₀= 5 · 2⁹

The₁₀= 5 · 512

The₁₀= 2560

Všeobecný termín PG

Keď poznáme prvý člen a dôvod, je možné vygenerovať všeobecný vzorec pojmu z geometrickej postupnosti, ktorá závisí výlučne od hodnoty č. Aby sme to dosiahli, stačí nahradiť prvý člen a pomer a nájdeme rovnicu, ktorá závisí iba od hodnoty č.

Použitím predchádzajúceho príkladu, kde je pomer 2 a prvý termín je 5, je všeobecný výraz pre tohto všeobecného lekára:

The_č=₁ · čo^{n - 1}

The_č= 5 · 2^{n - 1}

Súčet podmienok PG

Pridanie všetkých podmienok postupu by bolo veľa práce. V mnohých prípadoch je napísanie celej postupnosti na dosiahnutie tohto súčtu časovo náročné. Na uľahčenie tohto výpočtu má geometrický postup vzorec, ktorý slúži na výpočet súčet č prvé prvky konečného PG:

Príklad:

Nájdite súčet prvých 10 volebných období všeobecných lekárov (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Všimnite si, že pomer tohto PG je rovný 2.

The₁ = 1

čo = 2

č = 10

Prečítajte si tiež: Exponenciálna funkcia - praktické využitie geometrickej postupnosti

Cvičenia vyriešené

Otázka 1 - Vedci pozorujú zvláštnu kultúru baktérií už niekoľko dní. Jeden z nich analyzuje rast tejto populácie a všimol si, že v prvý deň bolo 100 baktérií; v druhom rade 300 baktérií; v tretej, 900 baktérií a tak ďalej. Pri analýze tejto postupnosti môžeme povedať, že je:

A) aritmetický priebeh pomeru 200.

B) geometrický priebeh pomeru 200.

C) arimetická progresia rozumu 3.

D) geometrický priebeh pomeru 3.

E) postupnosť, ale nie postupnosť.

Rozhodnutie

Alternatíva D.

Pri analýze postupnosti máme výrazy:

Upozorňujeme, že 900/300 = 3, ako aj 300/100 = 3. Preto pracujeme s PG s pomerom 3, pretože od prvého člena vynásobíme tromi.

Otázka 2 - (Enem - PPL) Pre začiatočníka v behu bol stanovený nasledujúci denný tréningový plán: odbehnúť prvý deň 300 metrov a od druhého pribudnúť 200 metrov denne. Na spočítanie jeho výkonu použije na pripevnenie tenisky čip, ktorý zmeria vzdialenosť prekonanú pri tréningu. Zvážte, že tento čip uchováva vo svojej pamäti maximálne 9,5 km behu / chôdze a musí byť umiestnený na začiatku tréningu a po vyčerpaní priestoru na rezervu dát musí byť zlikvidovaný. Ak tento športovec použije čip od prvého dňa tréningu, na koľko po sebe nasledujúcich dní bude tento čip schopný uložiť počet najazdených kilometrov tohto denného tréningového plánu?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Rozhodnutie

Alternatíva B.

Pri analýze situácie vieme, že máme PA s dôvodom 200 a počiatočným koncom rovným 300.

Ďalej vieme, že súčet S_č = 9,5 km = 9500 metrov.

Na základe týchto údajov nájdeme pojem a_č, čo je počet kilometrov zaznamenaných v posledný deň skladovania.

Je tiež potrebné pripomenúť, že akýkoľvek výraz a_č možno napísať ako:

The_č=₁+ (n - 1)r