vypočítať faktoriál čísla má zmysel iba vtedy, keď pracujeme s prirodzenými číslami. Táto operácia je v kombinatorická analýza, uľahčenie výpočtu opatrení, permutácií, kombinácií a ďalších problémov spojených s počítaním. Faktoriál je predstavované symbolom „!“. Definujeme to ako n! (n faktoriál) do násobenie n všetkými jeho predchodcami kým nedosiahnete 1. nie! = n · (n - 1) · (n - 2) ·… · 3,2 · 1.
Prečítajte si tiež: Základný princíp počítania - hlavný koncept kombinatorickej analýzy
Čo je faktoriál?
Faktoriál je veľmi dôležitá operácia pre štúdium a vývoj kombinatorickej analýzy. V matematike je číslo, za ktorým nasleduje symbol výkričníka (!) je známy ako faktoriál, napríklad x! (x faktoriál).
Ako faktoriál poznáme a prirodzené číslo The vynásobením tohto čísla jeho predchodcami okrem nuly, t.j.:
nie! = n · (n-1) · (n-2)... 3 · 2,1 |
Je pozoruhodné, že aby táto operácia mala zmysel, n je prirodzené číslo, to znamená, že nevypočítame faktoriál záporného čísla, ba ani desatinného čísla, ani zlomkov.
faktoriálny výpočet
Ak chcete nájsť faktoriál čísla, jednoducho vypočítajte produkt. Upozorňujeme tiež, že faktoriál je operácia, ktorá, keď zvýšiť hodnotu n, výsledok sa tiež veľmi zvýši.
Príklady:
4! =4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7· 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
Podľa definície máme:
0! = 1
1! = 1
Faktorové operácie
Pri riešení faktoriálnych operácií je dôležité dávať pozor, aby ste neurobili chyby. Keď ideme sčítať, odčítať alebo vynásobiť dva faktoriály, je potrebné vypočítať každý z nich zvlášť. Iba divízia má konkrétne spôsoby, ako vykonávať zjednodušenia. Nerobte chybu, že vykonáte operáciu a zachováte si faktoriál, buď na sčítanie a odčítanie alebo na násobenie.
2! + 3! ≠ 5!
4! · 2! ≠ 12!
7! – 5! ≠ 2!
Pri riešení ktorejkoľvek z týchto operácií musíme vypočítať každý z faktoriálov.
Príklady:
a) 2! + 3! = (2 · 1) + (3 · 2 · 1) = 2 + 6 = 8
b) 4! · 2! = (4 · 3 · 2 · 1) · (2 · 1) = 24 · 2 = 48.
c) 7! - 5! =(7 · 6· 5· 4 · 3 · 2 · 1) - (5· 4 · 3 · 2 · 1) = 5040 – 120 = 4920.
Pozri tiež: Ako vyriešiť rovnicu pomocou faktoriálu?
Faktorové zjednodušenie
Rozdiely sa dosť opakujú. Vo vzorcoch z kombinácia, usporiadanie a permutácia s opakovaním, pri riešení problémov týkajúcich sa faktoriálu sa vždy uchýlime k zjednodušeniu. Urobme preto niekoľko krokov.
Príklad:
1. krok: identifikujte najväčší z faktoriálov - v tomto prípade je to 8! Teraz, analyzujúc menovateľ, ktorý je 5!, napíšme násobenie 8 jeho predchodcami, kým sa nedostaneme k 5 !.
Faktoriál čísla n, teda n!, Možno prepísať ako násobenie n na k!. Teda
nie! = n · (n -1) · (n- 2) ·… · k!, tak prepíšeme 8! ako násobenie od 8 do 5 !.
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Prepíšme teda dôvod na:
2. krok: po prepísaní dôvod, je možné čitateľa zjednodušiť menovateľom, pretože 5! je v čitateli aj v menovateli. Po zjednodušení stačí vykonať násobenie.
Príklad 2:
Kombinatorická a faktorová analýza
Pri výkone pri ďalšom štúdiu kombinatorickej analýzy sa faktoriál čísla vždy objaví. Hlavné zoskupenia v kombinatorickej analýze, ktorými sú permutácia, kombinácia a usporiadanie, používajú vo svojich vzorcoch faktoriál čísla.
Permutácia
THE permutácia a zmena poradia všetkých prvkov množiny. Pri výpočte permutácie sa uchýlime k faktoriálu, pretože permutácia n prvkov sa počíta z:
Pč = n!
Príklad:
Koľko anagramy môžeme stavať s menom HEITOR?
Toto je typický problém s permutáciou. Pretože v názve je 6 písmen, pre výpočet počtu možných anagramov stačí vypočítať P6.
P6 = 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Tiež prístup: Permutácia s opakovanými prvkami: ako to vyriešiť?
Opatrenia
Vypočítať dojednania vyžaduje to tiež zvládnutie faktoriálu čísla. Usporiadanie, podobne ako permutácia, je vytvorenie preskupenia. Rozdiel je, v usporiadaní doobjednávame časť súpravy, to znamená, že chceme vedieť, koľko možných doobjednaní môžeme vytvoriť výberom veličiny k jednej nastaviť s n prvkami.
Príklad:
V spoločnosti je 6 kandidátov na vedenie inštitúcie a dvaja budú vybraní na pozíciu riaditeľa a zástupcu riaditeľa. Koľko možných výsledkov je vedomých toho, že budú zvolení hlasovaním?
V takom prípade vypočítame usporiadanie 6 prevzatých z 2 ku 2, pretože na dve voľné miesta je 6 kandidátov.
Kombinácia
V kombinácii, ako v ostatných, je potrebné zvládnuť faktoriál čísla. Definujeme ako kombináciu ty podmnožiny množiny. Rozdiel je v tom, že v kombinácii nedochádza k zmene poradia, pretože poradie nie je dôležité. Takže vypočítame, koľko podmnožín s k prvkami môžeme vytvoriť v množine n prvkov.
Príklad:
Za triedu bude vybraná komisia pozostávajúca z 3 študentov. Koľko komisií je známe, keďže je tu 5 kandidátov, koľko sa dá zložiť?
Prečítajte si tiež: Usporiadanie alebo kombinácia?
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - O faktoriále čísla, posúďte nasledujúce tvrdenia.
Ja). 0! + 1! = 2
II). 5! - 3! = 2!
III) 2! · 4! = 8
A) Iba ja som pravdivý.
B) Iba II je pravda.
C) Iba III je pravdivá.
D) Iba ja a II sú pravdivé.
E) Iba II a II sú pravdivé.
Rozhodnutie
Alternatíva A.
Ja) Pravda.
0! = 1
1! = 1
0! + 1! = 1+1 = 2
II) Falošné.
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120
3! = 3 · 2 · 1 = 6
5! – 3! = 120 – 6 = 114
III) Falošné.
2! = 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1= 24
Otázka 2 - (UFF) Je produkt 20 · 18 · 16 · 14... · 6 · 4 · 2 ekvivalentný s produktom?
A) 20: 2
B) 2 · 10!
C) 20: 210
D) 210· 10!
E) 20!: 10!
Rozhodnutie
Alternatíva D.
Pri pohľade na produkt všetkých párnych čísel od 2 do 20 vieme, že:
20 = 2 · 10
18 = 2 · 9
16 = 2 · 8
14 = 2 · 7
12 = 2 · 6
10 = 2 · 5
8 = 2 · 4
6 = 2 · 3
4 = 2 · 2
2 = 2 · 1
Môžeme teda prepísať ako 210 · 10 · 9 · … ·2 · 1 = 210 · 10!
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky