O minimálny spoločný násobok (MMC) medzi dvoma celými číslami xay je najmenšie celé číslo, ktoré je násobkom xay súčasne. Týmto spôsobom existuje aspoň jeden spôsob, ako nájsť MMC medzi dvoma číslami x a y: hľadajte najmenší spoločný prvok v množinách násobkov x a y. Samozrejme, existuje praktická metóda na zistenie tohto čísla, o ktorej bude reč nižšie. Je však potrebné porozumieť pojmu násobky celého čísla dobre.
Čo sú to násobky?
Celé číslo k sa nazýva a viacnásobný z x, ak existuje nejaké prirodzené číslo n také, že n · x = k. Vezmime si príklad čísla 110. On je viacnásobný z 10, pretože 110 je výsledkom vynásobenia 10 prirodzeným číslom 11.
Týmto spôsobom je možné určiť, či je celé číslo k viacnásobný x pokusom a omylom alebo vykonaním inverznej operácie násobenia (delenia). Číslo k je násobkom x, ak existuje prirodzené číslo n také, že:
n = k
X
Inými slovami, ak chcete zistiť, či je 110 násobkom 10, vydeľte 110 číslom 10. Ak je nájdeným výsledkom prirodzené číslo, 110 je násobkom 10; inak nie.
Pretože množina prirodzených čísel je nekonečná, množina násobky ktoréhokoľvek celého čísla je tiež nekonečné. Riešiť však cvičenia zahŕňajúce viac a MMC, je dobré napísať zoznam prvých násobkov čísla, aby ste získali lepšiu analýzu správania jeho násobkov.
Nižšie je uvedený zoznam prvých 10 násobkov 8, 10, 12, 20 a 40. Je ich prvých 10, pretože sú výsledkom vynásobenia týchto čísel prvými 10 prirodzenými číslami.
10 prvých prírodných produktov: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Násobky 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Násobky 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Násobky 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Násobky 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Násobky 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Najmenej spoločný násobok
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok medzi dvoma číslami vyhľadajte menší násobok ktoré majú spoločné. Prvou technikou použitou pri hľadaní mmc je hľadanie medzi násobkami týchto dvoch čísel. Pozrite sa na príklad:
Najmenší spoločný násobok medzi 10 a 12 je 60, pretože medzi násobkami 10 a 12 je 60 najmenšie číslo, ktoré je násobkom oboch. Pozerať:
Násobky 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Násobky 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Pre tieto dve čísla, ktoré sú malé, je ľahké nájsť MMC. Čo však s tým, keď sa vyžaduje výpočet MMC medzi 256 a 384? Ak budete chcieť pokračovať touto metódou, bude potrebných veľa únavných znásobení. Na to existuje a praktická metóda o ktorých bude reč nižšie.
Metóda rozkladu na výpočet MMC
Pre výpočet najmenší spoločný násobok medzi dvoma číslami môžete vytvoriť rozklad prvočísel ich. Napríklad rozklady na hlavné faktory 10 a 12 sú:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Poznámka: Kedykoľvek sa objavia opakujúce sa faktory, napíšte ich vo forme sily, ako to bolo pri rozklade čísla 12.
MMC medzi 10 a 12 budú produktom hlavných faktorov, s výnimkou opakujúcich sa faktorov, ktoré majú najmenší exponent. Minimum teda bude:
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Všimnite si, že faktor 2 z rozkladu čísla 10 bol ignorovaný, pretože ten istý faktor z rozkladu čísla 12 bol na druhú.
Toto uľahčuje výpočet MMC medzi 256 a 384. Pozri:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC bude produktom 28·3 = 256·3 = 768.
Príklad 2: MMC medzi 768 a 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
MMC bude produkt: 29·32.
Príklad 3: Vypočítajte MMC medzi 2700 a 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Faktory sú 2, 3 a 5. Tí, ktorí majú najvyššie exponenty, sú 29, 33 a 52. MMC teda bude:
29·33·52 = 345600
Praktická metóda výpočtu MMC
Je možné poznamenať, že na rozloženie čísel na hlavné faktory, je potrebné ich vydeliť najmenším možným prvodeliteľom a stále ignorovať faktory, ktoré sa opakujú v rovnakom delení. Existuje metóda, ktorá je schopná túto úlohu vykonať. Aby sme vás naučili, použijeme príklad MMC medzi 1 000 a 1024.
Napíšte tieto dve čísla vedľa seba, oddelené čiarkou, a urobte zvislý bočný ťah napravo od nich:
1000, 1024 |
|
|
Napravo od tejto stopy napíšte najmenšie prvočíslo, ktoré rozdeľuje najmenej jedno medzi 1 000 a 1024. V tomto prípade je číslo 2 a vydeľuje obidve.
1000, 1024 | 2
|
|
Tesne pod každú z nich napíšte výsledok svojho rozdelenia na 2 a pre tieto výsledky opakujte vyššie uvedený postup, až kým už nebude možné rozdeliť ani jedno číslo na 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Všimnite si, že v určitom okamihu nájdeme výsledok 125 v stĺpci 1000, ale 125 nie je deliteľný dvoma. V stĺpci číslo 1024 získame výsledky deliteľné iba 2. V takom prípade pokračujeme v delení čísel v stĺpci 1024 o 2 a opakujeme číslo 125.
Keď čísla v stĺpcoch 1 000 a 1024 už nie sú deliteľné číslom 2, vyskúšajte nasledujúcu prvočíslo: číslo 3. Ak už nie sú delitelia 3, vyskúšajte ďalší a tak ďalej, až kým nedosiahnete výsledok „1,1“. V prípade príkladu 125 nie je deliteľné číslom 3, ale číslom 5, takže postup zopakujeme tak, že dáme 5 napravo od pomlčky. Pozerať:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Po dokončení vynásobte faktory nájdené napravo od zvislej čiary:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Príklad 2: Vypočítajte MMC medzi 432 a 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
MMC bude:
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Ak chcete vypočítať MMC z troch alebo viacerých čísel, jednoducho použite praktickú metódu, ktorá je tu popísaná, a vložte všetky tieto čísla vedľa seba.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/minimo-multiplo-comum-mmc.htm
