Zjednodušenie algebraických zlomkov

Kedykoľvek sa pre číselný výraz použije slovo „algebraické“, znamená to, že tento výraz má aspoň jedno neznáme, to znamená písmeno alebo symbol používaný na vyjadrenie čísla neznámy. Teda a algebraická frakcia, zase nie je nič iné ako zlomok, ktorý má najmenej jeden neznámy v menovateľ (spodná časť frakcie). Preto zjednodušenie algebraických zlomkov sleduje rovnaký základ ako zjednodušenie numerických zlomkov.

Príklady algebraických zlomkov sú:

1)

2x
4r

2)

4r² - 9x²
2r + 3x

Zjednodušenie algebraických zlomkov

Zjednodušenie algebraického zlomku má rovnaký základ ako zjednodušenie číselného zlomku. Je potrebné vydeliť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Všimnite si príklad zjednodušenia zlomkov:

 30  =  15  =  5 =  1
 60 30 10 2 

Frakcia vyššie bola zjednodušená o 2, potom o 3 a potom o 5. Na podporu postupu zjednodušenie algebraických zlomkov, prepíšeme prvý zlomok vyššie v jeho zapracovanej podobe:

30 =  2·3·5
60 2·2·3·5

Všimnite si, že čísla 2, 3 a 5 sa opakujú v čitateľovi a menovateli a že to boli presne tie isté čísla, ktorými sa zlomok zjednodušil. V kontexte

algebraické zlomky, postup je obdobný je potrebné zohľadniť polynómy prítomné v čitateľovi a menovateli. Potom musíme posúdiť, či je možné niektoré z nich zjednodušiť.

Príklady

1) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:

4x²r³
16xy⁶

Zoraďte každú z neznámych čísel a čísel prítomných vo zlomku:

4x²r³
16xy⁶

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

Teraz vykonajte čo najviac rozdelení, ako ste to urobili predtým pre číselný zlomok: Čísla, ktoré sa objavujú v čitateľovi aj v menovateli, zmiznú, to znamená, že sú „strih“. Je tiež možné napísať, že výsledok každého z týchto zjednodušení je 1. Pozerať:

2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y

X
2 · 2 · y · y · y

X
4r³

2) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:

4r² - 9x²
2r + 3x

Všimnite si, že tento čitateľ algebraická frakcia spadá do jedného z prípadov pozoruhodných výrobkov, to znamená do: rozdiel dvoch štvorcov. Ak to chcete zohľadniť, jednoducho ho prepíšte do pôvodnej podoby. Potom je možné „vystrihnúť“ výrazy, ktoré sa vyskytujú v menovateli aj čitateľovi ako v predchádzajúcom príklade. Pozerať:

4r² - 9x²
2r + 3x

= (2r + 3x) (2r - 3x)
2r + 3x

= 1 · (2r - 3x)

= 2r + 3x

3) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:

The²(r² - 16x²)
ay + 4ax

Ako už bolo urobené, zoraďte polynómy prítomné v čitateli a menovateli. Potom vykonajte rozdelenia, ktoré sú možné.

The²(r² - 16x²)
ay + 4ax

= The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

Upozorňujeme, že čitateľ bol zohľadnený pomocou znaku rozdiel dvoch štvorcov a menovateľ bol zohľadnený prostredníctvom spoločného faktora. Okrem toho pojem a² možno napísať ako produkt a · a. Na záver vykonajte čo najviac divízií. Menovite a o a (y + 4x) o (y + 4x):

The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)

= 1,1 · (y - 4x)

= y - 4x

Faktorizačné prípady majú prvoradý význam pre zjednodušenie algebraických zlomkov. Ďalej sú uvedené najdôležitejšie prípady a niektoré stránky, na ktorých je možné ich nájsť podrobnejšie.

Faktoring algebraických výrazov

Polynóm je možné zapísať do jeho faktorizovanej formy, ak ho možno vyjadriť v jednej zo štyroch foriem uvedených nižšie. Prezentované výsledky sú ich zohľadnenou formou alebo príkladmi, ako ich zohľadniť:

1 - Spoločný faktor

Ak majú všetky výrazy polynómu neznáme alebo nejaké spoločné číslo, je možné ich preukázať. Napríklad v štvornásobnom polynóme² + 2x môžeme dať 2x dôkazy. Výsledkom bude:

4x² + 2x = 2x (2x + 1)

Upozorňujeme, že pri vykonávaní násobenia uvedeného na druhom prvku (pravá strana rovnosti) bude výsledok práve prvý člen (ľavá strana rovnosti), z dôvodu distribučného majetku násobenie.

2 - Zoskupenie

Vzhľadom na predchádzajúci prípad možno polynóm, ktorý má štyri členy, započítať zoskupením a spojením spoločné pojmy dva na dva, a neskôr sa započítajú znova, ak to výsledky nedajú možnosť. Napríklad 2x + bx + 2y + podľa polynómu je možné zohľadniť nasledovne:

2x + bx + 2y + o

x (2 + b) + y (2 + b)

Upozorňujeme, že (2 + b) sa opakuje v oboch nových termínoch. Môžeme to teda dokázať:

x (2 + b) + y (2 + b)

(2 + b) (x + y)

3 - Perfektný štvorcový trojuholník

Kedykoľvek je polynóm dokonalým štvorcovým trojčlenom, napíše sa ekvivalent jedného z nasledujúcich troch výrazov usporiadaných vľavo a červenou farbou.

X² + 2x + a² = (x + a) (x + a)

X² - 2x + a² = (x - a) (x - a)

X² - a² = (x + a) (x - a)

Na pravej strane je faktorizovaný tvar polynómu, ktorý je možné použiť pre zjednodušenie algebraických zlomkov.

4 - Súčet alebo rozdiel dvoch kociek

Kedykoľvek je polynóm v ďalšom tvare alebo je možné doňho zapísať, bude to súčet dvoch kociek.

X³ + 3x²o + 3x² +³ = (x + a)³

X³ - 3x²o + 3x² - a³ = (x - a)³

Ľavá strana je červenou farbou polynom, ktorý je možné zohľadniť a prepísať ako výrazy na pravej strane.

Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm