Kedykoľvek sa pre číselný výraz použije slovo „algebraické“, znamená to, že tento výraz má aspoň jedno neznáme, to znamená písmeno alebo symbol používaný na vyjadrenie čísla neznámy. Teda a algebraická frakcia, zase nie je nič iné ako zlomok, ktorý má najmenej jeden neznámy v menovateľ (spodná časť frakcie). Preto zjednodušenie algebraických zlomkov sleduje rovnaký základ ako zjednodušenie numerických zlomkov.
Príklady algebraických zlomkov sú:
1)
2x
4r
2)
4r2 - 9x2
2r + 3x
Zjednodušenie algebraických zlomkov
Zjednodušenie algebraického zlomku má rovnaký základ ako zjednodušenie číselného zlomku. Je potrebné vydeliť čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Všimnite si príklad zjednodušenia zlomkov:
30 = 15 = 5 = 1
60 30 10 2
Frakcia vyššie bola zjednodušená o 2, potom o 3 a potom o 5. Na podporu postupu zjednodušenie algebraických zlomkov, prepíšeme prvý zlomok vyššie v jeho zapracovanej podobe:
30 = 2·3·5
60 2·2·3·5
Všimnite si, že čísla 2, 3 a 5 sa opakujú v čitateľovi a menovateli a že to boli presne tie isté čísla, ktorými sa zlomok zjednodušil. V kontexte
algebraické zlomky, postup je obdobný je potrebné zohľadniť polynómy prítomné v čitateľovi a menovateli. Potom musíme posúdiť, či je možné niektoré z nich zjednodušiť.Príklady
1) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:
4x2r3
16xy6
Zoraďte každú z neznámych čísel a čísel prítomných vo zlomku:
4x2r3
16xy6
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
Teraz vykonajte čo najviac rozdelení, ako ste to urobili predtým pre číselný zlomok: Čísla, ktoré sa objavujú v čitateľovi aj v menovateli, zmiznú, to znamená, že sú „strih“. Je tiež možné napísať, že výsledok každého z týchto zjednodušení je 1. Pozerať:
2· 2 · x · x · y · y · y
2 · 2 · 2 · 2 · x · y · y · y · y · y · y
X
2 · 2 · y · y · y
X
4r3
2) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:
4r2 - 9x2
2r + 3x
Všimnite si, že tento čitateľ algebraická frakcia spadá do jedného z prípadov pozoruhodných výrobkov, to znamená do: rozdiel dvoch štvorcov. Ak to chcete zohľadniť, jednoducho ho prepíšte do pôvodnej podoby. Potom je možné „vystrihnúť“ výrazy, ktoré sa vyskytujú v menovateli aj čitateľovi ako v predchádzajúcom príklade. Pozerať:
4r2 - 9x2
2r + 3x
= (2r + 3x) (2r - 3x)
2r + 3x
= 1 · (2r - 3x)
= 2r + 3x
3) Zjednodušte nasledujúci algebraický zlomok:
The2(r2 - 16x2)
ay + 4ax
Ako už bolo urobené, zoraďte polynómy prítomné v čitateli a menovateli. Potom vykonajte rozdelenia, ktoré sú možné.
The2(r2 - 16x2)
ay + 4ax
= The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
Upozorňujeme, že čitateľ bol zohľadnený pomocou znaku rozdiel dvoch štvorcov a menovateľ bol zohľadnený prostredníctvom spoločného faktora. Okrem toho pojem a2 možno napísať ako produkt a · a. Na záver vykonajte čo najviac divízií. Menovite a o a (y + 4x) o (y + 4x):
The·The·(y + 4x) (y - 4x)
a · (y + 4x)
= 1,1 · (y - 4x)
= y - 4x
Faktorizačné prípady majú prvoradý význam pre zjednodušenie algebraických zlomkov. Ďalej sú uvedené najdôležitejšie prípady a niektoré stránky, na ktorých je možné ich nájsť podrobnejšie.
Faktoring algebraických výrazov
Polynóm je možné zapísať do jeho faktorizovanej formy, ak ho možno vyjadriť v jednej zo štyroch foriem uvedených nižšie. Prezentované výsledky sú ich zohľadnenou formou alebo príkladmi, ako ich zohľadniť:
1 - Spoločný faktor
Ak majú všetky výrazy polynómu neznáme alebo nejaké spoločné číslo, je možné ich preukázať. Napríklad v štvornásobnom polynóme2 + 2x môžeme dať 2x dôkazy. Výsledkom bude:
4x2 + 2x = 2x (2x + 1)
Upozorňujeme, že pri vykonávaní násobenia uvedeného na druhom prvku (pravá strana rovnosti) bude výsledok práve prvý člen (ľavá strana rovnosti), z dôvodu distribučného majetku násobenie.
2 - Zoskupenie
Vzhľadom na predchádzajúci prípad možno polynóm, ktorý má štyri členy, započítať zoskupením a spojením spoločné pojmy dva na dva, a neskôr sa započítajú znova, ak to výsledky nedajú možnosť. Napríklad 2x + bx + 2y + podľa polynómu je možné zohľadniť nasledovne:
2x + bx + 2y + o
x (2 + b) + y (2 + b)
Upozorňujeme, že (2 + b) sa opakuje v oboch nových termínoch. Môžeme to teda dokázať:
x (2 + b) + y (2 + b)
(2 + b) (x + y)
3 - Perfektný štvorcový trojuholník
Kedykoľvek je polynóm dokonalým štvorcovým trojčlenom, napíše sa ekvivalent jedného z nasledujúcich troch výrazov usporiadaných vľavo a červenou farbou.
X2 + 2x + a2 = (x + a) (x + a)
X2 - 2x + a2 = (x - a) (x - a)
X2 - a2 = (x + a) (x - a)
Na pravej strane je faktorizovaný tvar polynómu, ktorý je možné použiť pre zjednodušenie algebraických zlomkov.
4 - Súčet alebo rozdiel dvoch kociek
Kedykoľvek je polynóm v ďalšom tvare alebo je možné doňho zapísať, bude to súčet dvoch kociek.
X3 + 3x2o + 3x2 +3 = (x + a)3
X3 - 3x2o + 3x2 - a3 = (x - a)3
Ľavá strana je červenou farbou polynom, ktorý je možné zohľadniť a prepísať ako výrazy na pravej strane.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/simplificacao-fracao-algebrica.htm
