THE modulárna rovnica je a rovnica že v prvom alebo druhom členovi má výrazy v module. Modul, ktorý sa tiež nazýva absolútna hodnota, súvisí so vzdialenosťou, ktorú musí číslo vynulovať. Keďže hovoríme o vzdialenosti, modul čísla je vždy kladný. Riešenie úloh modulárnej rovnice si vyžaduje uplatnenie definície modulu, rovnicu obvykle rozdelíme na dva možné prípady:
keď je to, čo je vo vnútri modulu, pozitívne a
keď to, čo je vo vnútri modulu, je záporné.
Prečítajte si tiež: Aký je rozdiel medzi funkciou a rovnicou?
jeden modul skutočného čísla
Aby bolo možné vyriešiť problémy s modulárnymi rovnicami, je potrebné pamätať na definíciu modula. Modul je vždy rovnaký ako vzdialenosť, ktorú musí číslo vynulovať, a reprezentovať modul čísla č, používame rovnú čiaru nasledovne: |č|. Na výpočet |č|, rozdelili sme do dvoch prípadov:
Preto môžeme povedať, že |č| je to isté ako vlastné č keď je kladné číslo alebo sa rovná nule, a v druhom prípade |č| sa rovná opaku č ak je negatívny. Pamätajte, že opak záporného čísla je vždy kladný, takže |č| vždy má výsledok rovný kladnému číslu.
Príklady:
a) | 2 | = 2
b) | -1 | = - (- 1) = 1
Pozri tiež: Ako vyriešiť logaritmickú rovnicu?
Ako vyriešiť modulárnu rovnicu?
Pre nájdenie riešenia modulárnej rovnice je potrebné analyzovať každú z možností, to znamená rozdeliť vždy jeden z modulov vždy na dva prípady. Okrem znalosti definície modulu, riešenia modulárnych rovníc, je nevyhnutné vedieť riešiť polynomické rovnice.
Príklad 1:
| x - 3 | = 5
Pri hľadaní riešenia tejto rovnice je potrebné mať na pamäti, že existujú dva možné výsledky, ktoré |č| = 5, to sú oni, č = -5, pretože | -5 | = 5, a tiež č = 5, pretože | 5 | = 5. Takže pomocou tejto istej myšlienky musíme:
I → x - 3 = 5 alebo
II → x - 3 = -5
Riešenie jednej z rovníc samostatne:
Uznesenie I:
x - 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Uznesenie II:
x - 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Existujú teda dve riešenia: S = {-2, 8}.
Všimnite si, že ak x = 8, rovnica platí, pretože:
| x - 3 | = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Upozorňujeme tiež, že ak x = -2, potom platí rovnica:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Príklad 2:
| 2x + 3 | = 5
Rovnako ako v príklade 1 je na nájdenie riešenia potrebné jeho rozdelenie na dva prípady podľa definície modulu.
I → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Uznesenie I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Uznesenie II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
Potom nastaviť riešení je: S = {1, -4}.
Príklad 3:
| x + 3 | = | 2x - 1 |
Keď máme rovnosť dvoch modulov, musíme ju rozdeliť na dva prípady:
1. prípad, prvý a druhý člen rovnakého znamienka.
2. prípad, prvý a druhý člen protiľahlých znamienok.
Uznesenie I:
Urobíme obe strany väčšie ako nula, to znamená, že jednoducho odstránime modul. Vystačíme si aj s oboma negatívmi, ale výsledok bude rovnaký.
X + 3 ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
2x - 1 ≥ 0 → | 2x - 1 | = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x - 2x = -1 - 3
x = -4 (-1)
x = 4
Uznesenie II:
Strany opačných znamienok. Jednu stranu si vyberieme ako pozitívnu a druhú ako negatívnu.
Výber:
| x + 3 | ≥ 0 → | x + 3 | = x + 3
| 2x - 1 | <0 → | 2x –1 | = - (2x - 1)
Musíme teda:
x + 3 = - (2x - 1)
x + 3 = - 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Sada riešení je teda: S = {4, -2/3}.
Tiež prístup: Čo sú iracionálne rovnice?
vyriešené cviky
Otázka 1 - (UFJF) Počet negatívnych riešení modulárnej rovnice | 5x - 6 | = x² je:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Rozhodnutie
Alternatíva E
Chceme vyriešiť modulárnu rovnicu:
| 5x - 6 | = x²
Poďme to teda rozdeliť na dva prípady:
Uznesenie I:
5x - 6> 0 → | 5x - 6 | = 5x - 6
Musíme teda:
5x - 6 = x²
-x² + 5x - 6 = 0
Pamätajte, že delta hodnota nám hovorí, koľko riešení má kvadratická rovnica:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Pretože 1 je pozitívny, potom v tomto prípade existujú dve skutočné riešenia.
Uznesenie II:
| 5x - 6 | <0 → | 5x - 6 | = - (5x - 6)
- (5x - 6) = x²
- 5x + 6 = x²
- x² - 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Pretože aj v tomto prípade je Δ kladné, potom existujú dve skutočné riešenia, takže súčet skutočných riešení je 4.
Otázka 2 - (PUC SP) Roztoková sada S rovnice | 2x - 1 | = x - 1 je:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S = Ø
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Rozhodnutie
Alternatíva A
Uznesenie I:
| 2x - 1 | = 2x - 1
Musíme teda:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Uznesenie II:
| 2x - 1 | = - (2x - 1)
- (2x - 1) = x - 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-modular.htm