Hyperbola. definícia hyperboly

Čo je to hyperbola?
Definícia: Nech F1 a F2 sú dva body v rovine a nech 2c je vzdialenosť medzi nimi, hyperbola je množina bodov v rovine, ktorých rozdiel (v module) vzdialeností k F1 a F2 je konštanta 2a (0 <2a <2c).
Prvky hyperboly:

F1 a F2 → sú ohniská hyperboly
→ je stredom hyperboly
2c → ohnisková vzdialenosť
2. → skutočné alebo priečne meranie osi
2b → imaginárne meranie osi
c / a → výstrednosť
Medzi a, b a c → c existuje vzťah² =² + b²

Znížená rovnica hyperboly
1. prípad: Hyperbola so zameraním na os x.

Je zrejmé, že v tomto prípade budú mať ohniská súradnice F1 (-c, 0) a F2 (c, 0).
Redukovaná rovnica elipsy so stredom pri začiatku karteziánskej roviny a zameraná na os x bude teda:

2. prípad: Hyperbola s ohniskami na osi y.

V tomto prípade budú mať ohniská súradnice F1 (0, -c) a F2 (0, c).
Teda redukovaná rovnica elipsy so stredom pri začiatku karteziánskej roviny a zameraná na os y bude:

Príklad 1. Nájdite redukovanú rovnicu hyperboly so skutočnou osou 6, ohniskami F1 (-5, 0) a F2 (5, 0).
Riešenie: Musíme

2a = 6 → a = 3
F1 (-5,0) a F2 (5,0) → c = 5
Z pozoruhodného vzťahu získavame:
ç² =² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² = 25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Redukovaná rovnica bude teda daná:

Príklad 2. Nájdite redukovanú rovnicu hyperboly, ktorá má dve ohniská so súradnicami F2 (0, 10) a imaginárnou osou s rozmermi 12.
Riešenie: Musíme
F2 (0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Použitím pozoruhodného vzťahu získame:
10² =² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Rovnica zníženej hyperboly bude teda daná:

Príklad 3. Určte ohniskovú vzdialenosť hyperboly pomocou rovnice
Riešenie: Pretože rovnica hyperboly je typu  Musíme
The² = 16 a b² =9
Z pozoruhodného vzťahu, ktorý získame
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
Ohnisková vzdialenosť je daná hodnotou 2c. Teda
2c = 2 * 5 = 10
Ohnisková vzdialenosť je teda 10.

Autor: Marcelo Rigonatto
Špecialista na štatistiku a matematické modelovanie
Brazílsky školský tím

Analytická geometria - Matematika - Brazílska škola